10.8: Red de difracción. Poder resolutivo

Encontraremos analogías con el problema de interferencia de infinitas ondas representado por un FABRY-PEROT. El objetivo es obtener algo que en su parte de interferencia se comporte como el FP. El montaje se muestra en la figura 10.23. Cada rendija la identificaremos por un \(\Sigma_{i}\). La distancia entre las rendijas es siempre la misma, \(d\). La oap se aproxima formando un ángulo \(\theta\) con el eje \(z\). Se puede decir que \(\mathbf{k} \in \xi z\left(k_{y}=0\right)\), \(k_{x}=k \sin \theta .\)

Observamos la onda difractada sobre una pantalla que podemos parametrizar por coordenadas lineales (como \(x^{\prime}\) ) o angulares (como \(\left.\theta^{\prime}\right)\).

La integral que aparece en la aproximación de FF la simbolizaremos por \(\int\). Esta integral debe estar extendida a \(\bigcup_{j} \Sigma_{j}\), es decir

\[
\hat{u} \propto \int_{\bigcup_{j=1}^{N} \Sigma_{j}}=\sum_{j=1}^{N} \int_{\Sigma_{j}} \notag
\]

haciendo las mismas operaciones de cambio de variable que con la doble rendija, lo que obtenemos es una serie de fases que salen de las integrales

\[
\hat{u} \propto \int_{\Sigma_{1}}+e^{-i \varphi} \int_{\Sigma_{1}}+e^{-2 i \varphi} \int_{\Sigma_{1}}+\ldots+e^{-i(N-1) \varphi} \int_{\Sigma_{1}} \notag
\]

(el factor que cambia en el exponente es debido a que vamos pasando de \(d\) a \(2 d\) a \(3 d\), etc.). En general

\[
\begin{gathered}
\hat{u} \propto\left(1+e^{-i \varphi}+\ldots+e^{-i(N-1) \varphi}\right) \int_{\Sigma_{1}} \\
\propto(\operatorname{sinc}(\phi)) \times \sum_{j=1}^{N} e^{-i(j-1) \varphi}
\end{gathered}
\]

lo que cambia respecto a la doble rendija es que tenemos un primer factor que es interferencia de \(N\) ondas, y no de dos. Por otra parte, no es exactamente como el FP, puesto que en este teníamos \(\infty\) ondas interfiriendo. \(Y\) el otro factor es la difracción de una sola onda, que modula la inteferencia del resto.

Las \(\phi\) y \(\varphi\) son las mismas variables que en la doble rendija. Sumando la serie geométrica

\[
\hat{u}=\frac{1-e^{-i N \varphi}}{1-e^{-i \varphi}} \operatorname{sinc}(\phi) \notag
\]

haciendo el módulo al cuadrado y sacando factor común

\[
I\left(x^{\prime}\right) \propto\left(\frac{\sin \left(N \frac{\varphi}{2}\right)}{\sin \frac{\varphi}{2}}\right)^{2} \times \operatorname{sinc}^{2} \phi \notag
\]

tenemos un factor \(I_{d}\) de interferencia de \(N\) ondas y otro de difracción, ya conocido: \(I_{a}\).

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