# Duérmete escuchando trigonometría | Podcast relajante de matemáticas y ciencia para dormir

An episode of [Suenos Sciencia | Podcast de ciencia para dormir y relajarse](https://invisiblenetwork.ai/podcast/6784301402), 27 Jun 2026, 2 h 04 min.

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Duérmete escuchando trigonometría | Podcast relajante de matemáticas y ciencia para dormir...

## Transcript

[0:00] Speaker 2: 55 minutos y 12 segundos. El valor moderno es de 365 días, 5 horas, 48
[0:00] Speaker 2: La trigonometría no nació en un aula, no nació de
[0:03] Speaker 2: un filósofo sentado a contemplar formas perfectas. Nació de una
[0:07] Speaker 2: necesidad urgente, casi brutal, saber exactamente dónde estaban las estrellas,
[0:12] Speaker 2: saber cuándo iba a desbordarse el río, saber cómo construir
[0:17] Speaker 2: una pirámide que no se derrumbara. La trigonometría es, en
[0:22] Speaker 2: su origen más profundo, la matemática de la supervivencia humana organizada,
[0:26] Speaker 2: y lo que vamos a hacer hoy es recorrer ese
[0:29] Speaker 2: origen paso a paso, desde los primeros escribas que presionaban
[0:34] Speaker 2: tablillas de arcilla en Mesopotamia, hasta el astrónomo griego, que
[0:38] Speaker 2: por primera vez convirtió los ángulos en una tabla de
[0:42] Speaker 2: números que se podía consultar como un diccionario. Para entender
[0:46] Speaker 2: por qué la trigonometría surgió, hay que entender primero qué
[0:51] Speaker 2: problema estaban intentando resolver los pueblos antiguos. El problema era éste.
[0:57] Speaker 2: El universo se mueve en círculos, o al menos eso
[1:01] Speaker 2: es lo que parece desde la Tierra. El sol sale,
[1:04] Speaker 2: recorre un arco en el cielo y se pone. La
[1:07] Speaker 2: luna hace lo mismo, pero en tiempos distintos. Los planetas
[1:11] Speaker 2: visibles a simple vista trazan caminos que se curvan, avanzan,
[1:16] Speaker 2: retroceden y vuelven a avanzar. Las estrellas giran alrededor de
[1:20] Speaker 2: un punto fijo en el norte del cielo una noche
[1:23] Speaker 2: tras otra. Para un astrónomo antiguo o para un sacerdote
[1:27] Speaker 2: cuyo trabajo era predecir eclipses o calcular el calendario, la
[1:31] Speaker 2: pregunta fundamental era siempre la misma. Dado un ángulo, dado
[1:35] Speaker 2: un arco de círculo,¿ cuánto mide la distancia correspondiente?¿ Cómo
[1:40] Speaker 2: paso de un ángulo a una longitud? Ese es el
[1:44] Speaker 2: problema central que la trigonometría resuelve. Y ese problema apareció
[1:48] Speaker 2: en culturas completamente distintas en distintos momentos de la historia.
[1:53] Speaker 2: Siempre por la misma razón. La gente miraba el cielo
[1:57] Speaker 2: y necesitaba calcular. Empecemos por donde todo empieza, al menos
[2:02] Speaker 2: en lo que a matemáticas escritas se refiere, Mesopotamia. La
[2:06] Speaker 2: región entre el Tigris y el Éufrates, el sur de
[2:09] Speaker 2: lo que hoy es Irak. Ahí, aproximadamente en el año 3100 a.C.,
[2:16] Speaker 2: los sumerios desarrollaron un sistema de escritura basado en cuñas
[2:20] Speaker 2: presionadas sobre arcilla húmeda. que luego se secaba al sol.
[2:24] Speaker 2: Ese sistema se llama cuneiforme, que viene del latín y
[2:28] Speaker 2: significa simplemente en forma de cuña. Y dentro de esas
[2:32] Speaker 2: tablillas de arcilla, los sumerios y después sus herederos culturales,
[2:36] Speaker 2: los acadios y los babilonios, registraron astronomía, contabilidad, leyes, poesía
[2:42] Speaker 2: y también matemáticas. Mucha matemática. El sistema numérico que usaban
[2:48] Speaker 2: era extraordinario. Nosotros usamos base 10, Tenemos 10 símbolos, del 0 al 9, y
[2:55] Speaker 2: cuando llegamos al 10, empezamos a combinar. Los babilonios usaban base 60,
[3:00] Speaker 2: eso se llama sistema sexagesimal. Tenían símbolos para representar cantidades hasta 59,
[3:06] Speaker 2: y cuando llegaban al 60, empezaban de nuevo, igual que nosotros
[3:11] Speaker 2: hacemos con el 10. Ahora bien,¿ por qué 60? Nadie lo sabe
[3:17] Speaker 2: con absoluta certeza, pero la razón más probable es puramente matemática.
[3:22] Speaker 2: El 60 es el número más pequeño que es divisible de
[3:25] Speaker 2: forma exacta por 1, 2, 3, 4, 5, 6, 10, 12, 15, 20 y 30. Tiene 12 divisores. El 10, nuestro número base,
[3:37] Speaker 2: solo tiene 4. Para gente cuyo trabajo diario consistía en dividir
[3:41] Speaker 2: raciones de grano entre trabajadores, en calcular impuestos, en repartir
[3:46] Speaker 2: campos de tierra, Un número que se divide limpiamente entre
[3:50] Speaker 2: casi cualquier cosa que te encuentres en la vida cotidiana
[3:53] Speaker 2: es un regalo matemático enorme. El sistema sexagesimal no era
[3:59] Speaker 2: una rareza. Era una herramienta de precisión. Y ese sistema vivió.
[4:04] Speaker 2: No lo enterramos. Ahora mismo, cuando miras tu reloj y
[4:07] Speaker 2: ves que hay 60 segundos en un minuto y 60 minutos en
[4:11] Speaker 2: una hora, estás usando el sistema numérico de los sumerios.
[4:16] Speaker 2: Cuando mides un ángulo y ves que un grado tiene 60
[4:19] Speaker 2: minutos de arco y cada minuto tiene 60 segundos de arco,
[4:24] Speaker 2: estás usando el sistema numérico de los sumerios. Esta herencia
[4:28] Speaker 2: no es una coincidencia ni un homenaje romántico. Fue transmitida directamente.
[4:34] Speaker 2: De los babilonios a los griegos, de los griegos a
[4:37] Speaker 2: los árabes, de los árabes a Europa y de ahí
[4:40] Speaker 2: al mundo entero. Cuatro mil años después seguimos contando como
[4:45] Speaker 2: los babilonios. Dentro de ese sistema, los babilonios hicieron algo
[4:50] Speaker 2: que nadie esperaba encontrar hace apenas unas décadas. Trigonometría. No
[4:55] Speaker 2: trigonometría de ángulos y senos y cosenos, tal como los conocemos,
[5:00] Speaker 2: sino algo más primitivo y en ciertos aspectos más preciso.
[5:05] Speaker 2: Una trigonometría basada en razones exactas entre los lados de
[5:08] Speaker 2: los triángulos rectángulos. La evidencia más importante de esto es
[5:14] Speaker 2: una tablilla de arcilla conocida como Plimpton 322. Toma nota de
[5:20] Speaker 2: ese nombre porque es posiblemente el objeto matemático más famoso
[5:24] Speaker 2: del mundo antiguo. La tablilla fue comprada alrededor de 1922 por
[5:30] Speaker 2: un coleccionista llamado George Plimpton a un anticuario llamado Edgar Banks,
[5:37] Speaker 2: que afirmó haberla encontrado en Larsa, una ciudad sumeria antigua
[5:41] Speaker 2: cerca del Golfo Pérsico. Plimpton la donó a la Universidad
[5:45] Speaker 2: de Columbia, donde se conserva hoy. Mide apenas 12,7 cm por 8,8 cm.
[5:54] Speaker 2: Más o menos como una calculadora de bolsillo, está hecha
[5:57] Speaker 2: de arcilla color miel y tiene el borde izquierdo roto,
[6:01] Speaker 2: lo que significa que originalmente era más grande y que
[6:05] Speaker 2: hay columnas de datos que se han perdido. Los expertos
[6:08] Speaker 2: han fechado la tablilla entre el año 1822 y el 1762 a.C.,
[6:17] Speaker 2: en pleno periodo babilónico antiguo. Durante décadas, los historiadores de
[6:22] Speaker 2: las matemáticas discutieron qué era exactamente lo que contenía Plimpton 322.
[6:30] Speaker 2: La tablilla tiene cuatro columnas y quince filas. En las
[6:34] Speaker 2: columnas que se pueden leer claramente, aparecen números que corresponden
[6:38] Speaker 2: a lo que nosotros llamaríamos ternas pitagóricas, es decir, conjuntos
[6:43] Speaker 2: de tres números que satisfacen el teorema de Pitágoras. Un
[6:47] Speaker 2: número al cuadrado más otro número al cuadrado igual al
[6:50] Speaker 2: tercer número al cuadrado. Pero espera, Pitágoras nació en el
[6:55] Speaker 2: siglo VI a.C. Esto es del siglo XVIII a.C. Los
[7:00] Speaker 2: babilonios conocían el teorema de Pitágoras más de mil años
[7:05] Speaker 2: antes de que Pitágoras naciera. Eso ya es impresionante. Pero en 2017,
[7:11] Speaker 2: Dos matemáticos australianos, Daniel Mansfield y Norman Wilberger de la
[7:16] Speaker 2: Universidad de Nueva Gales del Sur, publicaron un análisis nuevo
[7:20] Speaker 2: de la tablilla en la revista Historia Matamítica, y su
[7:23] Speaker 2: conclusión fue todavía más radical. Plimpton 322 no es simplemente una
[7:30] Speaker 2: lista de ternas pitagóricas. Es una tabla trigonométrica. La primera
[7:36] Speaker 2: tabla trigonométrica del mundo creada más de 1500 años antes de
[7:41] Speaker 2: que los griegos inventaran su propia versión. La clave para
[7:46] Speaker 2: entender esto está en cómo los babilonios concebían los triángulos.
[7:50] Speaker 2: Ellos no usaban ángulos como nosotros, no decían un ángulo
[7:54] Speaker 2: de 30 grados o un ángulo de 40 y 5 grados. En cambio,
[7:59] Speaker 2: describían un triángulo rectángulo en términos de los cocientes entre
[8:03] Speaker 2: sus lados, la razón entre el lado corto y el
[8:06] Speaker 2: lado largo. o entre el lado corto y la diagonal,
[8:10] Speaker 2: es decir, la hipotenusa. Si piensas en ello, tiene mucho sentido.
[8:15] Speaker 2: Si sabes que en un triángulo rectángulo la razón entre
[8:18] Speaker 2: el cateto corto y la hipotenusa es siempre la misma
[8:22] Speaker 2: para un determinado tipo de triángulo, puedes usar esa razón
[8:27] Speaker 2: para escalar el triángulo a cualquier tamaño que necesites. Eso
[8:32] Speaker 2: es exactamente lo que hace una tabla trigonométrica moderna. Te
[8:36] Speaker 2: da una razón el seno, el coseno o la tangente,
[8:39] Speaker 2: que es constante para cada ángulo, y tú la usas
[8:43] Speaker 2: para calcular longitudes desconocidas. Las 15 filas de Plimpton 322 están ordenadas
[8:51] Speaker 2: de tal forma que los cocientes entre los lados de
[8:53] Speaker 2: los triángulos representados disminuyen de forma sistemática de la primera
[8:58] Speaker 2: fila a la última. En la primera fila, el triángulo
[9:03] Speaker 2: es casi isósceles. con un ángulo de aproximadamente 45 grados. En
[9:08] Speaker 2: la última fila, el triángulo es más estrecho. La tablilla cubre,
[9:13] Speaker 2: de forma ordenada, todo el rango de formas posibles para
[9:16] Speaker 2: un triángulo rectángulo, y todos los valores son exactos dentro
[9:21] Speaker 2: del sistema sexagesimal. No hay aproximaciones, no hay errores de
[9:26] Speaker 2: redondeo del tipo que aparecen inevitablemente en las tablas trigonométricas
[9:30] Speaker 2: modernas basadas en ángulos y funciones. circulares. En ese sentido específico,
[9:37] Speaker 2: Plimpton 322 es matemáticamente más precisa que cualquier tabla de senos
[9:43] Speaker 2: y cosenos que usemos hoy en día.
[9:46] Speaker 3: Ahora bien, seamos justos con la historia. No todos los
[9:50] Speaker 3: historiadores de las matemáticas están completamente convencidos de la interpretación
[9:56] Speaker 3: de Mansfield y Wilberger. Otros expertos argumentan que la tablilla
[10:01] Speaker 3: puede haber sido un ejercicio para generar ternas pitagóricas con
[10:06] Speaker 3: valores sexagesimales convenientes, más relacionada con álgebra y técnicas de
[10:11] Speaker 3: cálculo que con trigonometría aplicada. El debate académico continúa.
[10:17] Speaker 2: Pero lo que nadie disputa es que los babilonios conocían
[10:20] Speaker 2: el teorema de Pitágoras con precisión y que trabajaban sistemáticamente
[10:25] Speaker 2: con razones entre lados de triángulos rectángulos. Si eso no
[10:29] Speaker 2: es trigonometría, es al menos su antepasado más directo. Y
[10:34] Speaker 2: había un uso práctico claro para todo esto. Los babilonios
[10:38] Speaker 2: eran agrimensores. Después de cada inundación del Éufrates, los campos
[10:43] Speaker 2: quedaban borrados. Las lindes desaparecían bajo el barro. Había que
[10:48] Speaker 2: volver a medir, volver a asignar parcelas, volver a calcular
[10:53] Speaker 2: quién tenía derecho a cuánta tierra. Un agrimensor babilónico con
[10:57] Speaker 2: una tabla de razones de triángulos rectángulos podía hacer su
[11:01] Speaker 2: trabajo con una eficiencia que sin esa tabla hubiera sido imposible.
[11:07] Speaker 2: También eran astrónomos. El cielo babilónico estaba poblado de dioses
[11:11] Speaker 2: y predecir los movimientos de esos dioses, el momento de
[11:15] Speaker 2: un eclipse lunar, la reaparición de Venus en el cielo
[11:18] Speaker 2: del amanecer, el paso del cometa, era asunto de estados.
[11:23] Speaker 2: Las matemáticas de los triángulos y los círculos no eran
[11:27] Speaker 2: un pasatiempo intelectual, eran una responsabilidad política y religiosa. Descendemos
[11:33] Speaker 2: ahora el Nilo, o más precisamente nos movemos hacia el oeste,
[11:37] Speaker 2: hacia Egipto, aproximadamente en el año 1550 a.C. Aquí encontramos otro
[11:44] Speaker 2: documento matemático fundamental, quizás el más famoso de la antigüedad,
[11:49] Speaker 2: el Papiro de Rind. El papiro lleva ese nombre porque
[11:53] Speaker 2: lo compró en Luxor en el siglo XIX un arqueólogo
[11:57] Speaker 2: escocés llamado Alexander Henry Rind. Actualmente se conserva en el
[12:02] Speaker 2: Museo Británico de Londres, aunque una parte más pequeña está
[12:06] Speaker 2: en el Museo de Brooklyn en Nueva York. El documento
[12:10] Speaker 2: fue copiado por un escriba llamado Amose durante el periodo Ixos,
[12:15] Speaker 2: probablemente alrededor del 1550 a.C., Pero Amose indica en el propio
[12:21] Speaker 2: texto que está copiando un documento anterior de la Dinastía 12,
[12:25] Speaker 2: es decir, de aproximadamente el 1800 a.C. O sea que el
[12:32] Speaker 2: conocimiento que contiene tiene al menos 4000 años. El Papiro de
[12:36] Speaker 2: Reint es básicamente un libro de texto de matemáticas. Contiene 84
[12:42] Speaker 2: problemas matemáticos con sus soluciones. Cubre aritmética, fracciones, álgebra elemental,
[12:48] Speaker 2: geometría y, lo que más nos interesa aquí, cálculos sobre pirámides.
[12:54] Speaker 2: Los problemas 56 al 60 del papiro tratan específicamente sobre la construcción
[13:00] Speaker 2: de pirámides. Y en esos problemas aparece un concepto crucial,
[13:04] Speaker 2: el sequed. El sequed era la medida egipcia de la
[13:09] Speaker 2: inclinación de las caras de una pirámide. Es la respuesta
[13:13] Speaker 2: a la pregunta práctica más importante en la construcción de
[13:16] Speaker 2: una pirámide. Por cada codo real que sube la pirámide
[13:20] Speaker 2: en vertical,¿ cuánto retrocede la cara en horizontal? Un codo
[13:25] Speaker 2: real egipcio era la unidad estándar de longitud, equivalente a aproximadamente 20,7
[13:32] Speaker 2: centímetros modernos. Se dividía en siete palmos y cada palmo
[13:36] Speaker 2: en cuatro dedos. El sequed se expresaba en palmos y
[13:40] Speaker 2: dedos por codo de altura. Si el sequet de una
[13:42] Speaker 2: pirámide era cinco palmos y medio, eso significaba que por
[13:46] Speaker 2: cada codo que la pirámide sube, la cara retrocede horizontalmente
[13:51] Speaker 2: cinco palmos y medio.¿ Y qué es eso en términos
[13:54] Speaker 2: que reconocemos hoy? El sequet es exactamente la cotangente del
[13:59] Speaker 2: ángulo de elevación de la cara de la pirámide. En
[14:02] Speaker 2: notación trigonométrica moderna, si el ángulo de la cara con
[14:06] Speaker 2: la horizontal es alfa, entonces el sequet es igual a siete.
[14:11] Speaker 2: multiplicado por la cotangente de alfa, porque hay siete palmos
[14:15] Speaker 2: en un codo. Dicho de otra forma, el sequed codificaba
[14:19] Speaker 2: una razón trigonométrica directamente en las unidades de medida de
[14:22] Speaker 2: los egipcios. No hablaban de ángulos. No decían, la cara
[14:28] Speaker 2: tiene un ángulo de 50 y un grado con la horizontal. Decían,
[14:32] Speaker 2: el sequed es cinco palmos y dos dedos, que es
[14:35] Speaker 2: exactamente lo mismo, solo expresado de forma distinta. Tomemos el
[14:40] Speaker 2: ejemplo más famoso del mundo. La Gran Pirámide de Keops,
[14:45] Speaker 2: construida alrededor del 2550 a.C., tiene según mediciones modernas un sequed de 5,5 palmos.
[14:53] Speaker 2: Eso corresponde a un ángulo de elevación de aproximadamente 51 grados
[14:59] Speaker 2: con 84 centésimas de grado. La Pirámide de Kefren, la que
[15:04] Speaker 2: tiene la nariz más inclinada que es fácil de ver
[15:07] Speaker 2: desde Giza, tiene un sequed de 5 palmos y un cuarto,
[15:11] Speaker 2: lo que da un ángulo de 53,13 grados. Ese ángulo particular, 53 grados,
[15:19] Speaker 2: corresponde a proporciones del triángulo 3 a 4 a 5, la terna pitagórica
[15:24] Speaker 2: más simple que existe. Es decir, los arquitectos de Kefren
[15:29] Speaker 2: posiblemente eligieron deliberadamente un sequed que generaba un triángulo con
[15:35] Speaker 2: proporciones perfectamente enteras, lo que simplificaba enormemente los cálculos de construcción.
[15:41] Speaker 2: El problema 56 del papiro de Rind es un ejemplo concreto
[15:46] Speaker 2: que merece reproducirse aquí. Dice así, más o menos en
[15:50] Speaker 2: su esencia, se te da una pirámide cuya base mide 360
[15:54] Speaker 2: codos de ancho y cuya altura es 250 codos. Calcula su sequed.
[16:01] Speaker 2: Y la solución procede así. Tomamos la mitad de la base,
[16:05] Speaker 2: que es 180, y dividimos 180 entre 250, obteniendo una fracción. Luego multiplicamos
[16:13] Speaker 2: ese resultado por 7, porque hay 7 palmos en un codo. Y
[16:18] Speaker 2: el resultado es el sequed en palmos. Es un cálculo
[16:22] Speaker 2: directo de una razón trigonométrica, cotangente de la mitad del
[16:26] Speaker 2: ángulo en la cima de la pirámide. expresada en las
[16:29] Speaker 2: unidades de medida del sistema constructivo egipcio. Los egipcios no
[16:34] Speaker 2: dibujaban círculos con radios para medir ángulos. Trabajaban directamente con
[16:39] Speaker 2: razones de longitudes, que es matemáticamente equivalente, pero conceptualmente diferente.
[16:46] Speaker 2: Lo que nos dicen Mesopotamia y Egipto es algo fundamental.
[16:50] Speaker 2: La trigonometría no empezó como matemática pura. Empezó como herramienta.
[16:56] Speaker 2: Una herramienta para construir, para medir tierra, para predecir el cielo,
[17:01] Speaker 2: para organizar la sociedad. El salto de estas razones son útiles.
[17:06] Speaker 2: A estas razones son parte de una estructura matemática coherente
[17:10] Speaker 2: con definiciones, teoremas y demostraciones. Es el salto que daría
[17:15] Speaker 2: Grecia y es uno de los saltos intelectuales más grandes
[17:18] Speaker 2: en la historia humana. Antes de llegar a ese salto
[17:22] Speaker 2: hay que hablar brevemente de una figura griega que muchas
[17:26] Speaker 2: veces se menciona de paso, pero que en realidad es
[17:30] Speaker 2: el eslabón entre el mundo práctico aritmético de Babilonia y
[17:34] Speaker 2: el mundo geométrico teórico de los griegos. Pitágoras. No voy
[17:39] Speaker 2: a entrar en los detalles biográficos, porque hay mucha mitología
[17:42] Speaker 2: mezclada con poco hecho histórico en la historia de Pitágoras.
[17:47] Speaker 2: Lo que sí importa es el teorema que lleva su nombre,
[17:49] Speaker 2: aunque ya sabemos que los babilonios lo conocían con anticipación considerable.
[17:56] Speaker 2: El teorema de Pitágoras dice que en todo triángulo rectángulo,
[18:00] Speaker 2: la suma de los cuadrados de los dos catetos es
[18:03] Speaker 2: igual al cuadrado de la hipotenusa. En notación algebraica, A
[18:08] Speaker 2: cuadrado más B cuadrado igual a C cuadrado.¿ Por qué
[18:12] Speaker 2: es tan central para la trigonometría? Porque el teorema de
[18:16] Speaker 2: Pitágoras establece una relación fija, inamovible, entre los tres lados
[18:20] Speaker 2: de cualquier triángulo rectángulo. Y eso significa que si conoces
[18:25] Speaker 2: dos de esos tres lados, puedes calcular el tercero. Y
[18:29] Speaker 2: si defines las razones entre esos lados como funciones del
[18:32] Speaker 2: ángulo opuesto, que es exactamente lo que hacemos con el seno,
[18:36] Speaker 2: el coseno y la tangente, entonces el teorema de Pitágoras
[18:41] Speaker 2: te da una de las identidades trigonométricas más importantes. Seno
[18:45] Speaker 2: al cuadrado más coseno al cuadrado siempre es igual a 1.
[18:49] Speaker 2: esa identidad que memorizan millones de estudiantes todos los años, es,
[18:55] Speaker 2: en el fondo, el teorema de Pitágoras escrito en lenguaje trigonométrico.
[19:00] Speaker 2: El teorema es la columna vertebral de toda la trigonometría.
[19:05] Speaker 2: Pero Pitágoras y sus seguidores trabajaban principalmente con figuras planas
[19:10] Speaker 2: y con demostraciones abstractas.¿ El cielo les importaba? Sí, como
[19:16] Speaker 2: a todo filósofo griego, pero no de la misma forma
[19:19] Speaker 2: urgente y calculadora que a los astrónomos babilonios. El puente
[19:24] Speaker 2: entre el mundo geométrico de los griegos y el problema
[19:26] Speaker 2: astronómico de calcular con ángulos lo construyó una figura que
[19:31] Speaker 2: vivió en la segunda mitad del siglo II a.C., Hiparco
[19:35] Speaker 2: de Nicea. Hiparco nació en Nicea, una ciudad que está
[19:40] Speaker 2: en la región de Bitinia, en la parte noroeste de
[19:43] Speaker 2: la actual Turquía. Pasó gran parte de su vida activa
[19:47] Speaker 2: en la isla de Rodas, en el mar Egeo, donde
[19:50] Speaker 2: montó un observatorio y pasó años enteros haciendo lo que
[19:54] Speaker 2: mejor se le daba. Observar el cielo con una disciplina
[19:58] Speaker 2: y una precisión sin precedentes en el mundo griego. Se
[20:02] Speaker 2: estima que vivió entre aproximadamente el 190 y el 120 a.C., aunque
[20:08] Speaker 2: las fechas exactas son inciertas. Es un personaje al que
[20:12] Speaker 2: la historia no ha tratado del todo bien. en el
[20:16] Speaker 2: sentido de que la mayor parte de su obra se perdió,
[20:18] Speaker 2: y lo que sabemos de él viene principalmente de las
[20:23] Speaker 2: referencias que hace Ptolomeo, que vivió tres siglos después, en
[20:27] Speaker 2: su obra El Almagesto. Pero incluso a través de esas referencias,
[20:31] Speaker 2: la estatura intelectual de Hiparco es aplastante. Hiparco elaboró el
[20:37] Speaker 2: primer catálogo de estrellas del mundo occidental, registrando las posiciones
[20:41] Speaker 2: de al menos 850 estrellas. Descubrió la precesión de los equinoccios,
[20:48] Speaker 2: es decir, el lento movimiento que hace que el eje
[20:51] Speaker 2: de rotación de la Tierra apunte a diferentes partes del
[20:54] Speaker 2: cielo a lo largo de un ciclo de aproximadamente 26.000 años.
[21:00] Speaker 2: Calculó la distancia a la Luna con una precisión sorprendente
[21:04] Speaker 2: para su época, obteniendo un valor de entre 62 y 74 radios terrestres,
[21:07] Speaker 2: cuando el valor moderno es de 60,3. Y para hacer todo esto,
[21:17] Speaker 2: necesitaba convertir medidas de ángulos en medidas de longitudes. Y
[21:21] Speaker 2: para eso, creó la primera tabla de cuerdas del mundo occidental.
[21:26] Speaker 2: Entendamos qué es una tabla de cuerdas, porque es el
[21:29] Speaker 2: corazón de la trigonometría griega y la predecesora directa de
[21:32] Speaker 2: nuestras tablas de senos y cosenos. Imagina un círculo. Fija
[21:37] Speaker 2: un punto en la circunferencia. Ahora fija un segundo punto,
[21:42] Speaker 2: formando un ángulo central, es decir, un ángulo con el
[21:46] Speaker 2: vértice en el centro del círculo. La cuerda es el
[21:50] Speaker 2: segmento de línea recta que une los dos puntos en
[21:53] Speaker 2: la circunferencia. No es el arco, que sería la parte
[21:56] Speaker 2: de la circunferencia entre los dos puntos. Es la cuerda,
[22:00] Speaker 2: la línea recta. Si el ángulo central es 0 grados, la
[22:04] Speaker 2: cuerda tiene longitud 0. Si el ángulo central es 180 grados, la
[22:10] Speaker 2: cuerda es el diámetro del círculo y tiene la longitud
[22:13] Speaker 2: máxima posible. Para cualquier ángulo intermedio, la cuerda tiene una
[22:18] Speaker 2: longitud que depende únicamente del ángulo y del radio del círculo.
[22:23] Speaker 2: Hiparco tomó un círculo de radio específico y calculó la
[22:27] Speaker 2: longitud de la cuerda para ángulos que van de 0 a 180 grados,
[22:31] Speaker 2: en intervalos de 7 grados y medio. Eligió como radio el
[22:36] Speaker 2: valor de 3438 minutos de arco. Esa elección no es arbitraria.
[22:44] Speaker 2: Si divides el círculo en 360 grados, cada grado en 60 minutos,
[22:49] Speaker 2: la circunferencia total es 360 por 60, igual a 21600 minutos de arco.
[22:57] Speaker 2: El radio de ese círculo resulta ser, usando la fórmula
[23:01] Speaker 2: de la circunferencia que es 2pi por el radio, el
[23:05] Speaker 2: valor de 21600 dividido entre 2pi, que es aproximadamente 3438. Y Parco
[23:13] Speaker 2: eligió ese radio para que la longitud del arco de
[23:16] Speaker 2: un minuto de ángulo fuera exactamente un minuto, creando una
[23:22] Speaker 2: correspondencia directa y conveniente entre arcos angulares y longitudes. Era
[23:28] Speaker 2: una normalización inteligente para simplificar los cálculos astronómicos. Ahora,¿ qué
[23:35] Speaker 2: relación tiene la cuerda con el seno? La relación es
[23:38] Speaker 2: directa y hermosa. Si tienes un círculo de radio R
[23:42] Speaker 2: y trazas la cuerda que corresponde a un ángulo central alfa,
[23:46] Speaker 2: esa cuerda, cuando la divides en dos por la perpendicular
[23:49] Speaker 2: desde el centro hasta la cuerda, crea dos triángulos rectángulos idénticos.
[23:55] Speaker 2: En cada uno de esos triángulos, el cateto opuesto al
[23:58] Speaker 2: ángulo mitad, es decir, a alfa sobre 2, tiene longitud R
[24:02] Speaker 2: multiplicado por el seno de alfa sobre 2. Por lo tanto,
[24:06] Speaker 2: la longitud de la cuerda entera es 2 multiplicado por r
[24:10] Speaker 2: multiplicado por el seno de alfa sobre 2. En notación, cuerda
[24:14] Speaker 2: de alfa igual a 2r por seno de alfa sobre 2.
[24:18] Speaker 2: O dicho al revés, el seno de un ángulo beta
[24:21] Speaker 2: es igual a la cuerda de 2 beta dividida entre 2r.
[24:25] Speaker 2: Los griegos no tenían la función seno, tenían la función cuerda,
[24:30] Speaker 2: que es exactamente el doble del seno del ángulo mitad.
[24:34] Speaker 2: Las dos funciones son equivalentes, solo es una cuestión de
[24:37] Speaker 2: convención y normalización. Hiparco estaba calculando senos, solo que los
[24:42] Speaker 2: llamaba cuerdas, y los medía en un círculo de radio 3438.
[24:49] Speaker 2: La tabla de cuerdas de Hiparco es funcionalmente una tabla
[24:53] Speaker 2: de senos. La tabla original de Hiparco no ha sobrevivido.
[24:58] Speaker 2: No tenemos la tablilla, el papiro, el rollo de cuero,
[25:03] Speaker 2: o lo que fuera en que la registró. Sabemos que
[25:06] Speaker 2: existía porque otros autores posteriores la mencionan, especialmente Teón de Alejandría,
[25:11] Speaker 2: que escribió un comentario sobre el Almagesto, y menciona que
[25:15] Speaker 2: Hiparco escribió un tratado en doce libros sobre cuerdas, en
[25:19] Speaker 2: un círculo. Doce libros, para una tabla de números. Eso
[25:24] Speaker 2: nos dice que no era sólo la tabla, sino también
[25:26] Speaker 2: el desarrollo matemático completo, que explicaba cómo construirla, cómo usarla,
[25:33] Speaker 2: y qué aplicaciones tenía. Todo eso se perdió. Para construir
[25:38] Speaker 2: su tabla, Hipparco usó resultados geométricos conocidos en su época.
[25:43] Speaker 2: Podía calcular directamente la cuerda de 60 grados, porque en ese
[25:48] Speaker 2: caso el triángulo inscrito en el círculo es equilátero, y
[25:51] Speaker 2: la cuerda es igual al radio, así que la cuerda
[25:54] Speaker 2: de 60 grados es 3,438. podía calcular la cuerda de 90 grados usando
[26:02] Speaker 2: el teorema de Pitágoras. Si el ángulo central es 90 grados,
[26:07] Speaker 2: los dos radios y la cuerda forman un triángulo rectángulo isósceles,
[26:11] Speaker 2: y la cuerda es el radio multiplicado por la raíz de 2,
[26:15] Speaker 2: o sea, aproximadamente 4860. Y tenía herramientas para calcular la cuerda
[26:23] Speaker 2: de la diferencia entre ángulos y la cuerda del ángulo mitad,
[26:27] Speaker 2: lo que le permitía a partir de los valores conocidos,
[26:30] Speaker 2: ir rellenando progresivamente toda la tabla. Con intervalos de 7 grados
[26:36] Speaker 2: y medio, la tabla completa de 0 a 180 grados tiene 25 entradas,
[26:42] Speaker 2: lo que ya es suficiente para muchas aplicaciones astronómicas con
[26:47] Speaker 2: interpolación lineal entre los valores. El uso concreto de esta
[26:51] Speaker 2: tabla era el siguiente, y Parco quería modelar el movimiento
[26:56] Speaker 2: del Sol a lo largo del año. Sabía que el
[26:58] Speaker 2: Sol no se mueve a velocidad constante en el cielo.
[27:02] Speaker 2: Hay épocas del año en que recorre el cielo más
[27:05] Speaker 2: rápido y épocas en que lo hace más lento. Esta
[27:09] Speaker 2: irregularidad se explica en el modelo griego geocéntrico, porque el
[27:14] Speaker 2: Sol no orbita exactamente alrededor del centro de la Tierra,
[27:18] Speaker 2: sino alrededor de un punto ligeramente desplazado, un modelo que
[27:22] Speaker 2: se llama excéntrico. Para calcular dónde estaba el sol en
[27:27] Speaker 2: cualquier momento del año con ese modelo excéntrico, Hiparco necesitaba
[27:31] Speaker 2: resolver triángulos. Conocía algunos ángulos y quería encontrar longitudes. La
[27:37] Speaker 2: tabla de cuerdas era exactamente la herramienta para eso, y funcionó.
[27:43] Speaker 2: Con esa tabla, Hiparco estimó que el año tropical, el
[27:47] Speaker 2: tiempo entre 12 equinoccios de primavera consecutivos, era de 365 días, 5 horas.
[28:02] Speaker 2: minutos y 45 segundos. Y Parco se equivocó en menos de 7 minutos.
[28:08] Speaker 2: Sin telescopio, sin reloj mecánico, sin satélites, calculando a mano
[28:14] Speaker 2: con una tabla de cuerdas y la observación del cielo
[28:17] Speaker 2: a simple vista. Eso es lo que hace una buena
[28:20] Speaker 2: herramienta matemática en manos de alguien competente. Avancemos un poco
[28:25] Speaker 2: en el tiempo. Tres siglos después de Hiparco, en el
[28:29] Speaker 2: siglo I d.C., apareció en escena un matemático y astrónomo
[28:33] Speaker 2: griego llamado Menelao de Alejandría. Menelao es una figura que
[28:39] Speaker 2: muchas veces queda en la sombra de Ptolomeo, que vivió
[28:42] Speaker 2: justo después de él, pero que hizo una contribución indispensable
[28:47] Speaker 2: al desarrollo de la trigonometría. Fue el primero en definir
[28:51] Speaker 2: y estudiar de forma sistemática los triángulos esféricos.¿ Qué es
[28:56] Speaker 2: un triángulo esférico? Es la figura formada en la superficie
[29:00] Speaker 2: de una esfera por tres arcos de círculo máximo. Un
[29:04] Speaker 2: círculo máximo es cualquier círculo que tenga el mismo radio
[29:07] Speaker 2: que la esfera, es decir, cualquier círculo cuyos puntos se
[29:12] Speaker 2: encuentran todos sobre la superficie de la esfera y cuyo
[29:16] Speaker 2: plano pasa por el centro de la esfera. En la Tierra,
[29:19] Speaker 2: el ecuador, es un círculo máximo. Cualquier meridiano es un
[29:24] Speaker 2: círculo máximo. En el cielo de los griegos, el ecuador celeste,
[29:27] Speaker 2: la eclíptica, el horizonte en cualquier punto determinado, todos son
[29:32] Speaker 2: círculos máximos de la esfera celeste. Menelao escribió una obra
[29:37] Speaker 2: en tres libros llamada Esférica, que nos llegó solo en
[29:40] Speaker 2: traducción árabe, no en el original griego. En el primer
[29:44] Speaker 2: libro estableció los fundamentos de la geometría esférica. definiendo los
[29:49] Speaker 2: triángulos esféricos y probando para ellos resultados análogos a los
[29:53] Speaker 2: que Euclides había probado para los triángulos planos. En el
[29:58] Speaker 2: tercer libro desarrolló la trigonometría esférica, y en particular enunció
[30:03] Speaker 2: el teorema que lleva su nombre, conocido en la Edad
[30:06] Speaker 2: Media Árabe como el Teorema del Sector. El Teorema de
[30:11] Speaker 2: Menelao Esférico dice, esencialmente, que si tienes un triángulo esférico
[30:16] Speaker 2: y trazas un círculo máximo que intersecta sus tres lados,
[30:21] Speaker 2: hay una relación de proporcionalidad entre los senos de los
[30:24] Speaker 2: arcos determinados por esa intersección. Es el análogo esférico de
[30:29] Speaker 2: una proposición que los griegos conocían para triángulos planos. Y
[30:34] Speaker 2: ese resultado se convirtió en el motor principal de la
[30:37] Speaker 2: trigonometría esférica durante siglos. Ptolomeo usó el teorema de Menelao 17
[30:43] Speaker 2: veces en el Almagesto para calcular cosas como los puntos
[30:47] Speaker 2: de salida y puesta de la eclíptica en el horizonte,
[30:50] Speaker 2: o para corregir por paralaje lunar. La importancia de la
[30:55] Speaker 2: trigonometría esférica no puede subestimarse. Si la trigonometría plana, la
[31:01] Speaker 2: de los triángulos en una hoja de papel, resuelve problemas
[31:04] Speaker 2: en superficies planas, La trigonometría esférica resuelve problemas sobre la
[31:09] Speaker 2: superficie de una esfera. Y los astrónomos griegos vivían sobre
[31:13] Speaker 2: una esfera, la Tierra, y estudiaban otra esfera, la celeste.
[31:19] Speaker 2: Toda su astronomía era trigonometría esférica. Calcular la latitud de
[31:24] Speaker 2: una estrella, calcular cuándo salía un planeta por encima del horizonte,
[31:28] Speaker 2: predecir un eclipse, todo eso requería trigonometría esférica. Menelao fue
[31:34] Speaker 2: quien le dio a esa trigonometría su primer tratamiento matemático riguroso.
[31:38] Speaker 2: Y llegamos a la cima de la astronomía matemática antigua.
[31:43] Speaker 2: Claudio Ptolomeo. Ptolomeo vivió en Alejandría, Egipto, durante el siglo
[31:49] Speaker 2: II d.C., probablemente entre el año 100 y el 170. Es el
[31:55] Speaker 2: autor del Almagesto, una obra cuyo título original en griego
[31:59] Speaker 2: era sintaxis matemática, es decir, algo así como Tratado Sistemático
[32:04] Speaker 2: de Matemáticas, pero que los árabes llamaron al-Majisti, la Grandísima,
[32:09] Speaker 2: y ese nombre árabe es el que llegó a Europa
[32:12] Speaker 2: como al-Majesto, y el nombre es justo. Es una obra monumental, enciclopédica,
[32:18] Speaker 2: que resume y sistematiza todo el conocimiento astronómico griego con
[32:23] Speaker 2: una claridad y un rigor metodológico que no tenía precedentes
[32:27] Speaker 2: y que muy pocos textos de cualquier época han igualado.
[32:31] Speaker 2: El Almagesto tiene trece libros. El primer libro comienza con
[32:35] Speaker 2: las bases matemáticas que necesita el resto de la obra,
[32:38] Speaker 2: y ahí es donde Ptolomeo construye su propia tabla de cuerdas,
[32:43] Speaker 2: más completa y más precisa que la de Hiparco. Ptolomeo
[32:47] Speaker 2: trabajó con un círculo de radio 60, usando el sistema sexagesimal
[32:52] Speaker 2: de forma directa, con lo que el radio es exactamente 60
[32:56] Speaker 2: en la unidad más grande, y construyó la tabla para ángulos,
[33:01] Speaker 2: que van de medio grado a 180 grados, en intervalos de
[33:05] Speaker 2: medio grado. Eso son 360 entradas, mucho más detallada que la
[33:11] Speaker 2: tabla de Hiparco con sus 25 entradas cada 7 grados y medio.
[33:16] Speaker 2: Para construir esa tabla, Ptolomeo desarrolló un conjunto de herramientas
[33:21] Speaker 2: geométricas que en la práctica son exactamente nuestras identidades trigonométricas modernas,
[33:28] Speaker 2: pero expresadas en lenguaje de cuerdas. utilizó un resultado sobre
[33:32] Speaker 2: cuadriláteros inscritos en un círculo que hoy se conoce como
[33:37] Speaker 2: el teorema de Ptolomeo. Si un cuadrilátero está inscrito en
[33:41] Speaker 2: un círculo, es decir, si sus cuatro vértices están sobre
[33:45] Speaker 2: la circunferencia, entonces el producto de las longitudes de las
[33:49] Speaker 2: dos diagonales es igual a la suma de los productos
[33:53] Speaker 2: de los pares de lados opuestos. Con ese teorema, Pudo
[33:58] Speaker 2: demostrar relaciones entre la cuerda de la suma de dos ángulos,
[34:01] Speaker 2: la cuerda de la diferencia de dos ángulos, y la
[34:05] Speaker 2: cuerda del ángulo mitad. Si lo traduces al lenguaje del seno,
[34:09] Speaker 2: el que usamos hoy, esas relaciones son exactamente las fórmulas
[34:14] Speaker 2: de adición trigonométrica. El seno de la suma, el seno
[34:18] Speaker 2: de la diferencia, el coseno de la diferencia, el coseno
[34:21] Speaker 2: de la diferencia. Las identidades más importantes de la trigonometría elemental,
[34:27] Speaker 2: las que los estudiantes de bachillerato aprenden a duras penas
[34:30] Speaker 2: o directamente memorizan sin entender, Ptolomeo las tenía y las
[34:35] Speaker 2: usaba con fluidez. Sólo que él las formulaba en términos
[34:40] Speaker 2: de cuerdas y círculos, no de senos y cosenos. También
[34:44] Speaker 2: utilizó los resultados de Euclides sobre polígonos inscritos en círculos
[34:49] Speaker 2: para encontrar los puntos de partida de la tabla. Calculó
[34:53] Speaker 2: la cuerda de 72 grados, que corresponde al lado de un
[34:57] Speaker 2: pentágono regular inscrito en el círculo, usando la proposición 10 del
[35:02] Speaker 2: libro 13 de los elementos de Euclides. Calculó la cuerda de 60 grados,
[35:08] Speaker 2: que como ya dijimos es igual al radio. Calculó la
[35:12] Speaker 2: cuerda de 36 grados, que corresponde al decágono regular. Y a
[35:17] Speaker 2: partir de esos valores semilla, Usando sus fórmulas para cuerdas
[35:21] Speaker 2: de sumas, diferencias y mitades de ángulos, fue calculando el
[35:25] Speaker 2: resto de la tabla paso a paso, con una precisión
[35:28] Speaker 2: de seis cifras decimales en el sistema sexagesimal. Sus resultados
[35:33] Speaker 2: coinciden con los valores modernos a cinco o seis cifras significativas.
[35:37] Speaker 2: Ptolomeo además incluyó una columna adicional en su tabla que
[35:42] Speaker 2: él llamó sixtieths, sexagésimas, que daban el incremento de la cuerda.
[35:48] Speaker 2: por cada incremento de medio grado adicional, lo que equivale
[35:53] Speaker 2: a lo que hoy llamaríamos la derivada aproximada de la
[35:57] Speaker 2: función cuerda. Eso le permitía hacer interpolación lineal precisa para
[36:02] Speaker 2: cualquier ángulo que no estuviera exactamente en los puntos de
[36:04] Speaker 2: la tabla. Era un sistema completo, elegante y enormemente funcional.
[36:11] Speaker 2: El resto del Almagesto usa esa tabla de cuerdas para
[36:14] Speaker 2: construir modelos matemáticos del movimiento del Sol, la Luna, los
[36:19] Speaker 2: cinco planetas visibles a simple vista, para predecir eclipses, para
[36:24] Speaker 2: calcular el tamaño relativo del Sol y la Luna, para
[36:27] Speaker 2: determinar las fechas de las estaciones, para trazar mapas del cielo.
[36:32] Speaker 2: Cada cálculo se reduce, en última instancia, a resolver triángulos,
[36:37] Speaker 2: planos o esféricos, usando la tabla de cuerdas. El Almagesto es,
[36:43] Speaker 2: en ese sentido, la primera gran demostración de lo que
[36:46] Speaker 2: la trigonometría puede hacer cuando se aplica sistemáticamente a un
[36:50] Speaker 2: problema físico real. La influencia del Almagesto no tiene paralelo
[36:55] Speaker 2: fácil en la historia de la ciencia. Durante aproximadamente mil años,
[37:00] Speaker 2: desde que fue escrito en el siglo II hasta que
[37:03] Speaker 2: los astrónomos islámicos empezaron a mejorarlo en los siglos IX
[37:07] Speaker 2: y X, el Almagesto fue simplemente la última palabra en
[37:12] Speaker 2: astronomía matemática. Nadie lo superó, nadie lo reemplazó. Fue el
[37:18] Speaker 2: libro de texto de astronomía durante más tiempo que cualquier
[37:21] Speaker 2: otro libro de texto en cualquier disciplina en la historia registrada.
[37:26] Speaker 2: Y en cada uno de esos mil años, cada estudiante
[37:29] Speaker 2: de astronomía que aprendía a usar el almagesto estaba aprendiendo trigonometría.
[37:36] Speaker 2: Estaba aprendiendo que los ángulos se pueden convertir en longitudes.
[37:40] Speaker 2: que los triángulos se pueden resolver, que el cielo se
[37:43] Speaker 2: puede calcular. Ptolomeo convirtió la trigonometría en el lenguaje de
[37:48] Speaker 2: la ciencia. Vamos a detenernos un momento aquí para consolidar
[37:53] Speaker 2: lo que hemos aprendido, porque a veces en el recorrido
[37:56] Speaker 2: histórico se pierde el hilo de qué significa todo esto matemáticamente.
[38:02] Speaker 2: Hagamos un resumen conceptual. Los babilonios descubrieron que en los
[38:07] Speaker 2: triángulos rectángulos Hay razones entre los lados que son constantes
[38:11] Speaker 2: para una forma dada de triángulo, independientemente del tamaño. Si
[38:16] Speaker 2: tienes un triángulo rectángulo con cierta forma, es decir, con
[38:20] Speaker 2: ciertos ángulos, la razón entre el lado opuesto al ángulo
[38:24] Speaker 2: y la hipotenusa siempre es la misma. Escales el triángulo
[38:29] Speaker 2: como lo escales. Eso es lo fundamental. Esas razones constantes
[38:34] Speaker 2: son lo que nosotros llamamos funciones trigonométricas. Los egipcios usaron
[38:39] Speaker 2: algo parecido en la práctica constructiva, el sequed como razón
[38:43] Speaker 2: entre la horizontal y la vertical, que es exactamente la cotangente.
[38:48] Speaker 2: Los griegos con hiparco formalizaron esto usando círculos y cuerdas.
[38:53] Speaker 2: En vez de describir el triángulo directamente, describían la cuerda
[38:58] Speaker 2: de un arco en un círculo de radio fijo. Como
[39:01] Speaker 2: la cuerda depende sólo del ángulo y del radio, y
[39:04] Speaker 2: el radio está fijo, La cuerda es una función del ángulo,
[39:08] Speaker 2: y esa función cuerda es, como dijimos, el doble del
[39:12] Speaker 2: seno del ángulo mitad. Con Menelao, los griegos extendieron esas
[39:17] Speaker 2: ideas a la superficie de la esfera, creando la trigonometría
[39:21] Speaker 2: esférica necesaria para la astronomía real. Con Ptolomeo, todo eso
[39:26] Speaker 2: se sistematizó en una obra de referencia que incluía la
[39:29] Speaker 2: tabla numérica más detallada que el mundo antiguo había producido.
[39:34] Speaker 2: un sistema completo de identidades para calcular con esas funciones,
[39:37] Speaker 2: y una demostración práctica de su poder resolviendo los problemas
[39:43] Speaker 2: astronómicos más complejos de la época. Lo que faltaba todavía,
[39:48] Speaker 2: lo que Grecia no desarrolló completamente, era la generalización. Los
[39:54] Speaker 2: griegos pensaban en la cuerda como una longitud geométrica concreta,
[39:58] Speaker 2: medida en unidades específicas de un círculo específico. No pensaban
[40:03] Speaker 2: en el seno como una función abstracta que toma un
[40:06] Speaker 2: ángulo como entrada y devuelve un número puro como salida,
[40:10] Speaker 2: independientemente de cualquier círculo. Ese nivel de abstracción, esa generalización
[40:16] Speaker 2: que convierte la trigonometría de una colección de longitudes en
[40:21] Speaker 2: un sistema de funciones, eso vendrá después. Vendrá de India
[40:25] Speaker 2: y luego del mundo islámico, y lo cubriremos en la
[40:29] Speaker 2: siguiente sección. Pero antes de cerrar este primer bloque, hay
[40:33] Speaker 2: que enfatizar algo que creo que no siempre se aprecia completamente.
[40:38] Speaker 2: La trigonometría que surgió de Babilonia, de Egipto y de
[40:42] Speaker 2: Grecia no era un lujo intelectual. No era el pasatiempo
[40:46] Speaker 2: de élites desconectadas de la realidad. Era tecnología de punta.
[40:51] Speaker 2: La astronomía de Hiparco y Ptolomeo era la tecnología de
[40:55] Speaker 2: navegación de su época. Sin saber dónde estaban las estrellas
[40:59] Speaker 2: con precisión, Los marineros no podían navegar el Mediterráneo con seguridad.
[41:04] Speaker 2: Era la tecnología de calendario. Sin poder predecir los equinoccios
[41:09] Speaker 2: y solsticios, los estados no podían organizar la agricultura y
[41:13] Speaker 2: la vida económica. Era la tecnología de la guerra y
[41:16] Speaker 2: la administración. La agrimensura que permitía trazar fronteras y distribuir impuestos.
[41:24] Speaker 2: Dependía de poder medir ángulos y calcular distancias. Y todo
[41:28] Speaker 2: eso se sostenía sobre una idea. que parece casi mágica
[41:32] Speaker 2: la primera vez que la encuentras. Que hay una relación fija, predecible,
[41:38] Speaker 2: calculable entre los ángulos y los lados de los triángulos.
[41:42] Speaker 2: Que el universo geométrico no es caótico. Que si mides
[41:45] Speaker 2: un ángulo, puedes calcular una longitud que no has medido.
[41:49] Speaker 2: Que la forma de un triángulo determina completamente las razones
[41:53] Speaker 2: entre sus partes. Esa idea de descubierta independientemente en varias
[41:58] Speaker 2: culturas y sistematizada por los griegos, es una de las
[42:03] Speaker 2: ideas matemáticas más poderosas de la historia humana. Y apenas
[42:07] Speaker 2: acababa de nacer, cuando el imperio romano comenzó su largo
[42:11] Speaker 2: declive en Occidente, una enorme cantidad de conocimiento matemático y
[42:16] Speaker 2: astronómico quedó atrapada en textos que muy pocos podían leer
[42:20] Speaker 2: y que circulaban con dificultad creciente. Las obras de Hiparco,
[42:25] Speaker 2: ya perdidas en su mayoría, incluso en la época de Ptolomeo,
[42:29] Speaker 2: no iban a recuperarse. El Almagesto, ese tratado colosal, sobrevivió
[42:35] Speaker 2: porque estaba escrito en griego y se conservó en Bizancio
[42:38] Speaker 2: y en los monasterios coptos de Egipto, pero no llegaba
[42:42] Speaker 2: a los centros activos de vida intelectual del mundo mediterráneo occidental.
[42:47] Speaker 2: Sin embargo, en otra parte del mundo la trigonometría no
[42:51] Speaker 2: estaba en pausa. Estaba acelerándose. y el impulso vino de
[42:56] Speaker 2: una dirección que los europeos medievales no habrían podido anticipar,
[43:00] Speaker 2: del subcontinente indio. Para entender lo que India aportó a
[43:05] Speaker 2: la trigonometría, hay que retroceder brevemente a una pregunta que
[43:10] Speaker 2: dejamos sin responder al final del primer bloque. Los griegos
[43:14] Speaker 2: tenían la función cuerda, que era la longitud del segmento
[43:17] Speaker 2: recto que une los extremos de un arco de círculos.
[43:21] Speaker 2: Ya explicamos que esa cuerda es equivalente, con una transformación sencilla,
[43:26] Speaker 2: a lo que hoy llamamos el seno. Pero los griegos
[43:30] Speaker 2: nunca dieron ese paso final. Nunca dijeron, la mitad de
[43:34] Speaker 2: la cuerda del ángulo doble es una función interesante en
[43:37] Speaker 2: sí misma. Eso fue lo que hizo India. Y parece
[43:41] Speaker 2: un cambio menor, pero no lo es. Es la diferencia
[43:45] Speaker 2: entre una herramienta de cálculo específica, ligada a un círculo
[43:49] Speaker 2: de radio concreto, y una función matemática abstracta que puede
[43:53] Speaker 2: aplicarse a cualquier problema con ángulos. Es la diferencia entre
[43:58] Speaker 2: un instrumento de navegación de época y un sistema de
[44:01] Speaker 2: coordenadas universal. Los textos astronómicos indios más antiguos que contienen
[44:08] Speaker 2: trigonometría son los llamados sidantas, un término en sánscrito que
[44:13] Speaker 2: significa algo así como tratado o doctrina. y que era
[44:18] Speaker 2: el nombre genérico de los grandes textos astronómicos de la
[44:21] Speaker 2: tradición india. Los sidantas se escribieron a lo largo de
[44:25] Speaker 2: varios siglos, entre aproximadamente el 400 y el 600 de nuestra era,
[44:30] Speaker 2: y varios de ellos contienen tablas de senos y de
[44:34] Speaker 2: lo que llamaban la versín, que es el verseno, otra
[44:38] Speaker 2: función trigonométrica relacionada. El suya sidanta, uno de los más
[44:44] Speaker 2: importantes de este grupo, ya contiene una tabla de seno,
[44:48] Speaker 2: y varios autores consideran que es el texto más antiguo
[44:52] Speaker 2: que conocemos con una tabla de senos propiamente dicha, anterior
[44:57] Speaker 2: incluso al trabajo de Aryabhata, aunque la fecha exacta del
[45:00] Speaker 2: Suyasiddhanta en su forma original es objeto de debate. Pero
[45:04] Speaker 2: la figura central de la trigonometría india, la que es
[45:08] Speaker 2: absolutamente imposible de evadir, es Aryabhata. Aryabhata nació en el
[45:13] Speaker 2: año 476 de nuestra era, y murió alrededor del 550. Escribió un
[45:20] Speaker 2: único libro conocido, el Ariabatilla, terminado en el año 499, cuando
[45:26] Speaker 2: tenía 23 años. Eso es cuanto se puede decir de él,
[45:30] Speaker 2: con certeza, razonable. El Ariabatilla es un texto breve, tiene
[45:36] Speaker 2: apenas 119 versos en total, escritos en sánscrito métrico. No es
[45:41] Speaker 2: una novela ni un tratado extenso. Es un compendio técnico
[45:45] Speaker 2: extremadamente denso. Una sola estrofa de cuatro líneas puede contener
[45:51] Speaker 2: la definición de una función trigonométrica, el método para calcularla,
[45:55] Speaker 2: y los primeros valores de su tabla, todo al mismo tiempo.
[46:00] Speaker 2: Para leerlo hay que conocer el sistema de codificación numérica
[46:04] Speaker 2: en letras sánscritas que usa Aryabhata, porque los números no
[46:08] Speaker 2: están escritos como tales, sino como sílabas de un verso
[46:12] Speaker 2: que en su superficie parece un poema sobre el cosmos.
[46:17] Speaker 2: El capítulo de matemáticas de la Ariabatilla se llama Ganitapada.
[46:21] Speaker 2: En ese capítulo, en el verso 12, Ariabata da los 24 valores
[46:26] Speaker 2: de lo que él llama las diferencias de Yaarda. Ya
[46:30] Speaker 2: es la palabra sánscrita para cuerda de arco, como la
[46:33] Speaker 2: cuerda de un arco para disparar flechas, y Arda significa mitad,
[46:37] Speaker 2: así que Yaarda es literalmente la mitad de la cuerda.
[46:41] Speaker 2: y eso precisamente es el seno, la mitad de la
[46:45] Speaker 2: cuerda del ángulo doble en un círculo de radio fijo.
[46:48] Speaker 2: Pero Ariabhata no da los valores del seno directamente en
[46:52] Speaker 2: su tabla. Da las diferencias entre senos consecutivos. Es decir,
[46:57] Speaker 2: no dice, el seno de 3 grados y 3 cuartos es tal número.
[47:02] Speaker 2: Dice la diferencia entre el seno de 3 grados y 3 cuartos
[47:04] Speaker 2: y el seno de 7 grados y medio es tal número.
[47:09] Speaker 2: Esto no es solo un capricho de presentación. Es un
[47:13] Speaker 2: algoritmo de cálculo. Si conoces la primera diferencia y una
[47:17] Speaker 2: regla para generar las diferencias siguientes, puedes reconstruir toda la
[47:21] Speaker 2: tabla mediante sumas sucesivas sin tener que calcular cada seno
[47:26] Speaker 2: individualmente desde cero. Y la regla que usa Ariabata para
[47:30] Speaker 2: las diferencias sucesivas es exactamente la versión discreta de la
[47:34] Speaker 2: ecuación diferencial del seno. La segunda diferencia es proporcional al
[47:39] Speaker 2: negativo del seno. En lenguaje moderno, eso equivale a reconocer
[47:44] Speaker 2: que el seno satisface la ecuación diferencial d cuadrado sen
[47:48] Speaker 2: dividido de d cuadrado igual a menos sen, que es
[47:52] Speaker 2: la ecuación del movimiento oscilatorio armónico simple. Ariabata no tenía
[47:57] Speaker 2: cálculo diferencial, claro, pero su método de diferencias sucesivas capturaba
[48:03] Speaker 2: la misma estructura matemática de forma discreta. con precisión notable.
[48:08] Speaker 2: La tabla de Ariabata cubre 90 grados en 24 pasos, con un
[48:13] Speaker 2: intervalo de 3 grados y 3 cuartos por paso. Los valores están
[48:18] Speaker 2: expresados en minutos de arco en un círculo de radio 3000, 438,
[48:24] Speaker 2: el mismo radio, no por coincidencia, que usó Hiparco. Los
[48:29] Speaker 2: investigadores han debatido mucho si esa coincidencia significa que Ariabata
[48:34] Speaker 2: conocía directamente el trabajo de Hiparco, quizás a través de
[48:40] Speaker 2: la transmisión cultural que hubo entre el mundo greco-romano y
[48:44] Speaker 2: la India en los siglos anteriores, o si llegó al
[48:47] Speaker 2: mismo valor de forma independiente, partiendo de la misma idea
[48:51] Speaker 2: de hacer que un minuto de arco corresponda a una
[48:54] Speaker 2: unidad de longitud en la circunferencia. La segunda hipótesis es
[48:58] Speaker 2: perfectamente viable matemáticamente. El valor 3438 surge directamente de calcular el
[49:07] Speaker 2: radio de un círculo cuya circunferencia mide 21.600 unidades, es decir, 360
[49:15] Speaker 2: grados por 60 minutos por grado. Cualquiera que llegue a esa
[49:20] Speaker 2: normalización llegará al mismo número. Lo que Ariabata aportó que
[49:24] Speaker 2: los griegos no tenían era el cambio conceptual. En el
[49:28] Speaker 2: sistema griego, la cuerda era una longitud en un círculo específico.
[49:33] Speaker 2: En el sistema de Ariabhata, la hoja o seno era
[49:36] Speaker 2: la mitad de la cuerda, también expresada como longitud, pero
[49:40] Speaker 2: el hecho de que tomara la semicuerda, la mitad, era
[49:44] Speaker 2: un paso hacia una función que mide algo intrínseco al ángulo.
[49:48] Speaker 2: Porque la semicuerda del doble de un ángulo es, en efecto,
[49:52] Speaker 2: el seno de ese ángulo, y esa función tiene la
[49:56] Speaker 2: propiedad de que su valor en 90 grados es exactamente el
[50:00] Speaker 2: radio del círculo. Cuando el ángulo es 90 grados, la ya vale 3,438.
[50:08] Speaker 2: La tabla de Ariabata puede leerse, con la conversión adecuada,
[50:12] Speaker 2: como una tabla de senos multiplicados por 3,438. Para obtener el
[50:19] Speaker 2: seno moderno, puro, sin dimensiones, bastaba con dividir entre 3,438. Los
[50:28] Speaker 2: matemáticos posteriores harían exactamente eso cuando estandarizaron el radio del
[50:32] Speaker 2: círculo en uno. Junto al seno, Ariábata definió otras dos funciones.
[50:38] Speaker 2: La cotilla, que es la ya del ángulo complementario, es decir,
[50:43] Speaker 2: el seno del ángulo que sumado al original da 90 grados.
[50:47] Speaker 2: Eso es exactamente el coseno. Y el utkramaya, que en
[50:51] Speaker 2: sánscrito significa algo como la yeya invertida, o en reversa,
[50:55] Speaker 2: que es lo que conocemos como el verseno. es decir,
[50:58] Speaker 2: uno menos el coseno. El verseno tiene muy poco uso
[51:02] Speaker 2: hoy en día, pero fue fundamental en la astronomía india
[51:06] Speaker 2: y árabe medieval porque aparece de forma natural en ciertos
[51:10] Speaker 2: cálculos esféricos relacionados con el movimiento de los planetas. Y curiosamente,
[51:16] Speaker 2: Aryabhata también relaciona el verseno con la flecha de un arco.
[51:20] Speaker 2: Si la ya es la cuerda del arco, El Utkramaya
[51:24] Speaker 2: es la distancia desde el centro de esa cuerda hasta
[51:27] Speaker 2: el arco, la flecha que conecta la cuerda con el arco.
[51:31] Speaker 2: Era trigonometría descrita en metáforas de arquería. El Aryabhatilla fue
[51:36] Speaker 2: comentado y estudiado durante siglos. El primero de los grandes
[51:41] Speaker 2: comentaristas fue Bhaskara I, que vivió en el siglo VII,
[51:45] Speaker 2: aproximadamente entre el 600 y el 680 de nuestra era. No confundir
[51:47] Speaker 2: con Bhaskara II, que vivió varios siglos después. Bhaskara I
[51:56] Speaker 2: escribió el Mahabhaskariya, o Gran Obra, y en ese texto
[52:00] Speaker 2: hizo algo matemáticamente brillante. Encontró una fórmula para aproximar el
[52:05] Speaker 2: seno de cualquier ángulo usando sólo operaciones aritméticas simples, sin
[52:10] Speaker 2: necesidad de la tabla original de Aryabhata. La fórmula de
[52:14] Speaker 2: Bhaskara Arime para el seno expresa el seno del ángulo X,
[52:18] Speaker 2: con X en grados entre 0 y 180. como 4 veces x multiplicado
[52:23] Speaker 2: por 180 menos x, todo eso dividido entre 40.500 menos x multiplicado
[52:30] Speaker 2: por 180 menos x. Si lo piensas, es una fracción de
[52:34] Speaker 2: dos funciones cuadráticas. Y funciona sorprendentemente bien. La desviación máxima
[52:40] Speaker 2: respecto del valor verdadero del seno es de menos del 1%.
[52:45] Speaker 2: Para cálculos astronómicos prácticos del siglo VII, eso era suficientemente
[52:51] Speaker 2: preciso y mucho más rápido de calcular que consultar una
[52:55] Speaker 2: tabla de cuerdas o hacer una interpolación. Luego vino Brahmagupta.
[53:00] Speaker 2: Brahmagupta nació en el 598 de nuestra era y falleció alrededor del 668.
[53:08] Speaker 2: Fue el director del Observatorio Astronómico de Ujjain, que en
[53:12] Speaker 2: aquella época era el centro científico más importante de India.
[53:18] Speaker 2: Su obra principal, el Brahmasphutasiddhanta, publicado en el año 628, es
[53:25] Speaker 2: uno de los textos matemáticos más importantes de la antigüedad.
[53:29] Speaker 2: Fue el primero en formalizar las reglas del álgebra con
[53:32] Speaker 2: el cero y los números negativos. Y en trigonometría, su
[53:36] Speaker 2: contribución específica fue desarrollar un método de interpolación de segundo
[53:41] Speaker 2: orden para calcular valores de senos con precisión superior a
[53:46] Speaker 2: la interpolación lineal simple. La interpolación es la técnica de
[53:51] Speaker 2: estimar el valor de una función entre dos puntos conocidos.
[53:55] Speaker 2: La interpolación lineal simple dice que si conoces el seno
[53:59] Speaker 2: de 20 grados y el seno de 25 grados, el seno de 22
[54:04] Speaker 2: grados está aproximadamente a dos quintos del camino entre ellos.
[54:09] Speaker 2: Eso funciona para ángulos pequeños y cerca de cero, donde
[54:13] Speaker 2: el seno se comporta casi linealmente. pero el seno es
[54:17] Speaker 2: una curva, no una línea recta, y esa curvatura hace
[54:21] Speaker 2: que la interpolación lineal acumule errores, especialmente cerca de los 90
[54:26] Speaker 2: grados donde el seno se aplana. Brahmagupta desarrolló la versión
[54:31] Speaker 2: de segundo orden, que tiene en cuenta la curvatura, usando
[54:35] Speaker 2: las diferencias de segundo orden de la tabla. En notación moderna,
[54:40] Speaker 2: Su método es equivalente a la fórmula de interpolación de
[54:44] Speaker 2: Newton-Stirling de segundo orden. Eso le permitía a cualquier astrónomo
[54:50] Speaker 2: indio calcular el seno de cualquier ángulo con alta precisión
[54:53] Speaker 2: partiendo de una tabla con sólo seis valores. En el
[54:57] Speaker 2: mundo indio también apareció por primera vez la noción de
[55:01] Speaker 2: que las funciones trigonométricas tienen sentido más allá del rango
[55:06] Speaker 2: de 0 a 90 grados. Aryabhata ya había notado que el seno
[55:10] Speaker 2: es simétrico alrededor de 90 grados, que el seno de 120 grados
[55:14] Speaker 2: es el mismo que el seno de 60, que el seno
[55:18] Speaker 2: de 180 grados es cero, que el seno de 270 grados es
[55:23] Speaker 2: el negativo del seno de 90. Aunque los matemáticos indios no
[55:28] Speaker 2: usaban el concepto moderno de función definida en todo el
[55:32] Speaker 2: dominio real con valores positivos y negativos, La estructura periódica
[55:37] Speaker 2: del seno estaba implícita en sus cálculos de movimientos planetarios,
[55:41] Speaker 2: que obviamente requieren calcular posiciones a lo largo de un
[55:46] Speaker 2: ciclo completo. Todo este conocimiento viajó hacia el oeste, y
[55:51] Speaker 2: el vehículo de ese viaje fue uno de los episodios
[55:54] Speaker 2: más extraordinarios de la historia de la civilización humana. La
[55:59] Speaker 2: construcción del imperio Abasí y su capital Bagdad y dentro
[56:04] Speaker 2: de ella, la institución conocida como la Casa de la Sabiduría,
[56:07] Speaker 2: Bait al-Hikmah en árabe. El Imperio Abasí tomó el poder
[56:12] Speaker 2: del califato islámico en el año 750 de nuestra era y
[56:17] Speaker 2: fundó Bagdad en el 762. La ciudad fue construida en la
[56:22] Speaker 2: ribera occidental del Tigris, circular en su plano original, con
[56:27] Speaker 2: el Palacio del Califa en el centro, rodeado de barrios
[56:30] Speaker 2: y mercados que se extendían hacia afuera como los anillos
[56:34] Speaker 2: de un árbol. En menos de 50 años, Bagdad se convirtió
[56:38] Speaker 2: en la ciudad más grande del mundo, con una población
[56:42] Speaker 2: de quizás medio millón de personas, superando a Constantinopla y
[56:46] Speaker 2: a cualquier ciudad occidental. Y esa ciudad enorme necesitaba ingenieros, médicos, administradores,
[56:54] Speaker 2: astrónomos para el calendario y la navegación, y matemáticos para
[56:59] Speaker 2: resolver todos los problemas cuantitativos que una civilización compleja genera.
[57:04] Speaker 2: Los califas abasíes, especialmente Harún al-Rashid, que gobernó entre el 786
[57:10] Speaker 2: y el 809, y su hijo Al-Mamun, que gobernó entre el 813
[57:17] Speaker 2: y el 833, fueron mecenas del conocimiento con una visión notable.
[57:24] Speaker 2: Al-Mamun estableció la Casa de la Sabiduría alrededor del año 810.
[57:30] Speaker 2: No era simplemente una biblioteca, aunque también era eso. Era
[57:34] Speaker 2: un instituto de investigación, un centro de traducción, un laboratorio
[57:39] Speaker 2: de ciencias. Los mejores matemáticos, astrónomos, médicos, filósofos y lingüistas
[57:46] Speaker 2: del mundo islámico trabajaban allí. Y su primera gran misión
[57:50] Speaker 2: fue una de las más ambiciosas que cualquier institución intelectual
[57:54] Speaker 2: haya emprendido. Traducir al árabe todo el conocimiento científico disponible
[57:59] Speaker 2: en griego, sánscrito, siríaco, persa, y cualquier otra lengua que
[58:04] Speaker 2: contuviera saber relevante. Esa campaña de traducción tardó aproximadamente un
[58:10] Speaker 2: siglo y transformó la civilización islámica. Las obras de Euclides, Arquímedes, Apolonio, Ptolomeo,
[58:17] Speaker 2: Galeno en medicina, Aristóteles en filosofía, y también los hidantas indios,
[58:23] Speaker 2: los textos de Ariabata y Brahmagupta, todo eso fue traducido
[58:27] Speaker 2: al árabe y puesto a disposición de los eruditos islámicos.
[58:31] Speaker 2: El resultado no fue sólo una conservación de textos antiguos.
[58:35] Speaker 2: Fue una síntesis. Los matemáticos islámicos tomaron lo que los
[58:41] Speaker 2: griegos habían hecho con la geometría y lo que los
[58:44] Speaker 2: indios habían hecho con la aritmética y el álgebra, y
[58:47] Speaker 2: lo combinaron para producir algo nuevo. En el contexto específico
[58:53] Speaker 2: de la trigonometría, la fusión de la tradición griega de
[58:57] Speaker 2: las cuerdas con la tradición india de las semicuerdas, es decir,
[59:02] Speaker 2: Los senos resultó en la eliminación de las cuerdas y
[59:05] Speaker 2: la adopción universal del seno como la función fundamental. Los
[59:10] Speaker 2: matemáticos islámicos tempranos rápidamente se dieron cuenta de que trabajar
[59:15] Speaker 2: con senos era más conveniente que trabajar con cuerdas, porque
[59:19] Speaker 2: la función seno no requiere doblar los ángulos cada vez
[59:23] Speaker 2: que la usas y porque se conecta más directamente con
[59:28] Speaker 2: las razones entre lados del triángulo rectángulo, que son la
[59:31] Speaker 2: base del cálculo práctico. Uno de los primeros matemáticos islámicos
[59:36] Speaker 2: en hacer contribuciones sustanciales a la trigonometría fue Al-Ghwarizmi, cuyo
[59:42] Speaker 2: nombre arabizado y latinizado más tarde daría origen a la
[59:46] Speaker 2: palabra algoritmo. Al-Ghwarizmi trabajó en la Casa de la Sabiduría
[59:50] Speaker 2: bajo Al-Mamun en el siglo IX. Es más famoso por
[59:54] Speaker 2: su obra sobre el álgebra, de cuyo título árabe Al-Kitab
[59:58] Speaker 2: al-Muqtasafi Hisab al-Jaber o almukabala, derivamos la palabra álgebra. Pero
[1:00:04] Speaker 2: también escribió tablas astronómicas, llamadas zi, que incluían tablas de
[1:00:09] Speaker 2: senos y de tangentes, derivadas tanto del trabajo de Ptolomeo
[1:00:14] Speaker 2: como de los sidantas indios. Al-Juarismi fue una de las
[1:00:18] Speaker 2: primeras figuras en combinar sistemáticamente las dos tradiciones. Pero la
[1:00:23] Speaker 2: figura islámica que transformó de forma más radical la trigonometría
[1:00:27] Speaker 2: en los siglos IX y X fue Al-Batani. Su nombre
[1:00:32] Speaker 2: completo era Abu Abdala Muhammad ibn Javir ibn Sinan al-Raqi
[1:00:36] Speaker 2: al-Jarrani al-Zabi al-Batani. Nació alrededor del 858 en la región de Jarran,
[1:00:43] Speaker 2: en la actual Turquía, no lejos de donde hoy están
[1:00:47] Speaker 2: los vestigios de Ur de los Caldeos. Murió en el año 929.
[1:00:52] Speaker 2: En Europa medieval se le conocía por el nombre latinizado Albatecnius,
[1:00:57] Speaker 2: y ese nombre aparece en textos europeos desde el siglo
[1:01:01] Speaker 2: XII hasta el XVII. La contribución más importante de Albatani
[1:01:06] Speaker 2: a la trigonometría fue aparentemente sencilla, pero tuvo consecuencias enormes.
[1:01:11] Speaker 2: Reemplazó las tablas de cuerdas del Almagesto de Ptolomeo por
[1:01:16] Speaker 2: tablas de senos. Esto puede sonar como un simple cambio
[1:01:20] Speaker 2: de nomenclatura, y en cierta forma lo es, pero Albatani
[1:01:24] Speaker 2: fue perfectamente consciente de lo que estaba haciendo. En sus
[1:01:28] Speaker 2: propias obras, Explica que las senos son superiores a las
[1:01:32] Speaker 2: cuerdas porque permiten soluciones más directas de los problemas trigonométricos.
[1:01:38] Speaker 2: No requieren duplicar los ángulos. Se calculan con menos pasos.
[1:01:43] Speaker 2: Y cuando se combinan con otras funciones relacionadas, forman un
[1:01:47] Speaker 2: sistema más completo y elegante. Porque Albatani no se limitó
[1:01:52] Speaker 2: al seno. También desarrolló tablas de cotangentes, es decir, la
[1:01:57] Speaker 2: razón del coseno al seno, para ángulos de 0 a 90 grados,
[1:02:01] Speaker 2: y eso no era un ejercicio abstracto. Tenía una aplicación
[1:02:06] Speaker 2: directa y concreta, que cualquier musulmán de su época podía apreciar,
[1:02:10] Speaker 2: la determinación de la Qibla, la dirección hacia la Meca
[1:02:14] Speaker 2: desde cualquier punto de la Tierra. Si eres un musulmán
[1:02:18] Speaker 2: en Bagdad, o en Córdoba, o en Samarkanda, y quieres
[1:02:21] Speaker 2: rezar orientado hacia la Meca, necesitas calcular un ángulo en
[1:02:26] Speaker 2: la superficie esférica de la Tierra. La fórmula para hacer
[1:02:30] Speaker 2: ese cálculo involucra cotangentes y senos de las latitudes de
[1:02:34] Speaker 2: las dos ciudades. Albatani derivó esa fórmula, que se usó
[1:02:38] Speaker 2: durante siglos hasta que fue refinada con mayor precisión por
[1:02:42] Speaker 2: Albiruni en el siglo XI. Albatani también hizo algo que
[1:02:47] Speaker 2: el propio Ptolomeo no había sistematizado claramente. Comenzó a tratar
[1:02:52] Speaker 2: el seno, el coseno, la tangente y la cotangente como
[1:02:56] Speaker 2: funciones de ángulos. en el sentido que nosotros entendemos. Ptolemy
[1:03:02] Speaker 2: las trataba como longitudes en círculos específicos. Albatani empezó a
[1:03:07] Speaker 2: usarlas como razones, aunque todavía con referencia a un radio específico,
[1:03:11] Speaker 2: y sus tablas de cotangentes cubrían los ángulos de 0 a 90
[1:03:16] Speaker 2: en intervalos de un grado, con cuatro cifras sexagesimales de precisión,
[1:03:21] Speaker 2: lo que representaba una mejora sustancial sobre los valores disponibles
[1:03:26] Speaker 2: hasta entonces. El trabajo de Albatani fue tan influyente que
[1:03:30] Speaker 2: astronomoas tan grandes como Ticho Brahe, Johannes Kepler y Galileo
[1:03:35] Speaker 2: Galilei usaron sus observaciones astronómicas siglos después. Sus tablas trigonométricas
[1:03:42] Speaker 2: fueron traducidas al latín en el siglo XII por Plato
[1:03:45] Speaker 2: de Tíboli, bajo el título Opus Astronomicum, y circularon ampliamente
[1:03:51] Speaker 2: en Europa. El nombre Albategnius, Apareció repetidamente en los textos
[1:03:56] Speaker 2: europeos medievales como una autoridad en astronomía y trigonometría. La
[1:04:01] Speaker 2: siguiente figura central en este desarrollo es Abu al-Wafa al-Busayani.
[1:04:07] Speaker 2: Abu al-Wafa nació en el año 940 en Busayán, en la
[1:04:11] Speaker 2: región del Jorazán, en el noreste de lo que hoy
[1:04:14] Speaker 2: es Irán. Pasó la mayor parte de su vida activa
[1:04:18] Speaker 2: en Bagdad. donde comenzó a trabajar en el observatorio a
[1:04:22] Speaker 2: partir del año 959. Murió en el 998. En los 39 años que
[1:04:29] Speaker 2: trabajó en Bagdad, Abu al-Wafa publicó una cantidad notable de
[1:04:34] Speaker 2: obras matemáticas y astronómicas, y en ellas aparecen por primera vez,
[1:04:38] Speaker 2: en el mundo islámico, las seis funciones trigonométricas que usamos hoy,
[1:04:44] Speaker 2: organizadas como un sistema coherente. Las seis funciones son el seno,
[1:04:49] Speaker 2: el coseno, la tangente, la cotangente, la secante y la cosecante.
[1:04:55] Speaker 2: Hoy en día, en la escuela secundaria o en el bachillerato,
[1:04:59] Speaker 2: se suelen presentar las seis y se aprende que las
[1:05:01] Speaker 2: últimas cuatro son los recíprocos del seno, el coseno y
[1:05:05] Speaker 2: la tangente. Eso es una simplificación pedagógica correcta, pero la
[1:05:10] Speaker 2: historia de por qué existen esas seis funciones y no
[1:05:14] Speaker 2: tres o dos es interesante y tiene que ver con
[1:05:16] Speaker 2: las herramientas físicas que los astrónomos usaban. El seno y
[1:05:21] Speaker 2: el coseno venían de la tradición de las cuerdas. La
[1:05:24] Speaker 2: tangente y la cotangente tenían un origen completamente diferente. Venían
[1:05:29] Speaker 2: del estudio de las sombras del gnomón. El gnomón es
[1:05:33] Speaker 2: el palito vertical que produce la sombra en un reloj solar.
[1:05:37] Speaker 2: Si el Sol está en una posición determinada en el cielo,
[1:05:41] Speaker 2: el ángulo de elevación del Sol sobre el horizonte, determina
[1:05:45] Speaker 2: la longitud de la sombra del nómon. Si el nómon
[1:05:48] Speaker 2: mide una unidad de alto, la sombra horizontal que produce
[1:05:52] Speaker 2: es exactamente la cotangente del ángulo de elevación. Y la
[1:05:57] Speaker 2: hipotenusa del triángulo formado por el nómon, la sombra y
[1:06:00] Speaker 2: el rayo de Sol, es la cosecante. Por eso la
[1:06:03] Speaker 2: tangente y la cotangente se llamaban en árabe la sombra
[1:06:07] Speaker 2: y la sombra invertida. son funciones de la geometría del gnomon,
[1:06:13] Speaker 2: y su desarrollo fue impulsado por la necesidad práctica de
[1:06:16] Speaker 2: los horarios de las oraciones islámicas, que dependen de la
[1:06:19] Speaker 2: posición del sol, que a su vez se calcula mediante
[1:06:22] Speaker 2: el ángulo de elevación y la sombra del gnomon. Abu
[1:06:26] Speaker 2: al-Wafa reunió todas estas tradiciones en su obra, que también
[1:06:30] Speaker 2: se llamó Al-Majesto, en homenaje al texto de Ptolomeo, pero
[1:06:35] Speaker 2: con contenido sustancialmente nuevo. En el sexto capítulo de esa obra,
[1:06:40] Speaker 2: Definió por primera vez las seis funciones trigonométricas juntas, seno, coseno, tangente, cotangente,
[1:06:47] Speaker 2: secante y cosecante. Probó las identidades fundamentales que relacionan unas
[1:06:53] Speaker 2: con otras. La secante al cuadrado es igual a 1 más
[1:06:56] Speaker 2: la tangente al cuadrado. La cosecante al cuadrado es igual
[1:07:00] Speaker 2: a 1 más la cotangente al cuadrado. Y calculó tablas de
[1:07:04] Speaker 2: senos y tangentes con intervalos de 15 minutos de arco, es decir,
[1:07:09] Speaker 2: un cuarto de grado. con precisión de 8 cifras decimales. Para comparación,
[1:07:14] Speaker 2: las tablas de Ptolomeo eran precisas hasta 3 cifras. Abu al-Wafa
[1:07:20] Speaker 2: las multiplicó casi por 3 en exactitud. También hizo algo que
[1:07:24] Speaker 2: anticipa el mundo matemático moderno con nitidez sorprendente. Propuso usar
[1:07:30] Speaker 2: un círculo de radio 1 como círculo de referencia para definir
[1:07:33] Speaker 2: las funciones trigonométricas. Si el radio es 1, entonces el seno
[1:07:38] Speaker 2: de un ángulo es simplemente la mitad de la cuerda,
[1:07:42] Speaker 2: dividida entre el radio, que es 1, y por tanto el
[1:07:46] Speaker 2: seno es un número puro, una razón sin unidades, no
[1:07:49] Speaker 2: una longitud. Ese es exactamente el seno moderno, la función
[1:07:54] Speaker 2: que va de 0 a 1 cuando el ángulo va de 0 a 90 grados.
[1:07:59] Speaker 2: Abu al-Wafa lo propuso en el siglo X. Europa lo
[1:08:02] Speaker 2: adoptaría plenamente en el siglo XVI. Para entender la relación
[1:08:07] Speaker 2: entre las seis funciones de forma intuitiva, Hagamos una pausa
[1:08:11] Speaker 2: y pensemos en un triángulo rectángulo. Tienes un triángulo con
[1:08:15] Speaker 2: un ángulo recto y un ángulo agudo que llamamos alfa.
[1:08:19] Speaker 2: Ese triángulo tiene tres lados. El cateto opuesto a alfa,
[1:08:23] Speaker 2: el cateto adyacente a alfa y la hipotenusa. Las seis
[1:08:28] Speaker 2: funciones trigonométricas son las seis razones posibles entre esos tres lados.
[1:08:33] Speaker 2: El seno es opuesto dividido entre hipotenusa. El coseno es
[1:08:37] Speaker 2: adyacente dividido entre hipotenusa. La tangente es opuesto dividido entre adyacente.
[1:08:44] Speaker 2: La secante es hipotenusa dividida entre opuesto. La cosecante es
[1:08:51] Speaker 2: hipotenusa dividida entre opuesto. Seis razones, seis funciones, y todas
[1:08:57] Speaker 2: se determinan mutuamente a partir del ángulo alfa. Ahora bien,¿
[1:09:02] Speaker 2: por qué necesitas las seis? No bastan el seno y
[1:09:05] Speaker 2: el coseno. Matemáticamente, sí. Las otras cuatro se pueden expresar
[1:09:10] Speaker 2: en términos del seno y el coseno. Pero históricamente, cada
[1:09:15] Speaker 2: una surgió como la herramienta más natural para un tipo
[1:09:18] Speaker 2: específico de problema. Para problemas en que conoces el ángulo
[1:09:22] Speaker 2: de elevación y quieres la longitud de la sombra, usas
[1:09:26] Speaker 2: la cotangente. Para problemas en que conoces el ángulo y
[1:09:30] Speaker 2: quieres la distancia a un objeto desde un punto en
[1:09:33] Speaker 2: la vertical, usas la secante. Cada función era la solución
[1:09:38] Speaker 2: directa a cierto tipo de problema geométrico, y tener las
[1:09:41] Speaker 2: seis a mano evitaba tener que hacer divisiones adicionales en
[1:09:46] Speaker 2: medio de los cálculos. Después de Abu al-Wafa, el desarrollo
[1:09:51] Speaker 2: de la trigonometría islámica continuó con una cadena de matemáticos. Al-Biruni,
[1:09:56] Speaker 2: que vivió entre el 973 y el 1048, Fue un polígrafo extraordinario
[1:10:03] Speaker 2: que hizo contribuciones importantes a la trigonometría esférica en el
[1:10:07] Speaker 2: contexto de la geografía y la geodesia. Para su trabajo
[1:10:12] Speaker 2: de medir el radio de la Tierra, un proyecto que
[1:10:15] Speaker 2: realizó en las montañas de lo que hoy es Pakistán,
[1:10:18] Speaker 2: necesitaba trigonometría esférica precisa. Calculó el radio terrestre con un
[1:10:24] Speaker 2: error de menos del 1%. usando un método que combinaba
[1:10:28] Speaker 2: geometría del terreno con cálculos de ángulos y senos, y
[1:10:32] Speaker 2: que requería tablas trigonométricas exactas. Al-Biruni también mejoró el método
[1:10:38] Speaker 2: para calcular la quibla y expandió considerablemente las tablas trigonométricas
[1:10:44] Speaker 2: de sus predecesores. Ibn al-Haytham, conocido en occidente como al-Hasen,
[1:10:49] Speaker 2: que vivió entre el 965 y el 1040, aplicó trigonometría a la óptica.
[1:10:57] Speaker 2: calculando cómo se refractan los rayos de luz al pasar
[1:11:00] Speaker 2: entre medios de diferente densidad, lo cual requería calcular senos
[1:11:04] Speaker 2: de ángulos de incidencia. Su libro de la óptica, el
[1:11:08] Speaker 2: Kitab al-Manasir, es considerado la primera obra sistemática de óptica experimental,
[1:11:14] Speaker 2: y su uso de la trigonometría en ese contexto fue
[1:11:17] Speaker 2: una extensión significativa de las aplicaciones de la disciplina más
[1:11:21] Speaker 2: allá de la astronomía. pero la figura que más influyó
[1:11:25] Speaker 2: en la unificación y maduración final de la trigonometría en
[1:11:28] Speaker 2: el mundo islámico fue Nasir al-Din al-Tusi. Al-Tusi nació el 18
[1:11:34] Speaker 2: de febrero de 1201 en Tuz, en la provincia de Jorazán,
[1:11:38] Speaker 2: en la Persia Oriental. Murió el 26 de junio de 1274, en Bagdad.
[1:11:46] Speaker 2: Su vida transcurrió en uno de los periodos más violentos
[1:11:49] Speaker 2: de la historia de Asia Central. Fue exactamente la época
[1:11:53] Speaker 2: de las invasiones mongolas. El ejército mongol de Hulagu Khan
[1:11:57] Speaker 2: saqueó Bagdad en 1258, destruyendo la Casa de la Sabiduría, ejecutando
[1:12:04] Speaker 2: al último califa Abasí y matando a cientos de miles
[1:12:07] Speaker 2: de personas. Sin embargo, Al-Tusi sobrevivió porque el propio Hulagu
[1:12:12] Speaker 2: reconoció su valor como astrónomo y matemático, y lo tomó
[1:12:16] Speaker 2: a su servicio. Al-Tusi fundó el Observatorio de Maraga, en
[1:12:21] Speaker 2: el noroeste de Irán, el observatorio más grande y mejor
[1:12:25] Speaker 2: equipado del mundo en ese momento, con instrumentos astronómicos de
[1:12:29] Speaker 2: precisión sin precedentes y una biblioteca que reunió los textos
[1:12:34] Speaker 2: que habían sobrevivido a la destrucción. La contribución de Al-Tusi
[1:12:39] Speaker 2: a la trigonometría tiene la peculiaridad de que no es
[1:12:42] Speaker 2: primordialmente un descubrimiento de nuevas funciones o identidades. sino un
[1:12:47] Speaker 2: acto de organización y elevación del estatus de la disciplina.
[1:12:52] Speaker 2: Hasta Altuzzi, la trigonometría siempre había sido una herramienta de
[1:12:56] Speaker 2: la astronomía, un conjunto de técnicas que se usaban para
[1:13:00] Speaker 2: resolver problemas sobre el cielo. Los textos trigonométricos aparecían como
[1:13:05] Speaker 2: capítulos dentro de obras astronómicas. La trigonometría no tenía una
[1:13:10] Speaker 2: existencia independiente como rama de las matemáticas. Altuzzi cambió eso.
[1:13:17] Speaker 2: Su obra Kitab al-Shak al-Kata, que puede traducirse como Tratado
[1:13:21] Speaker 2: sobre la figura del sector, o más comúnmente como Tratado
[1:13:25] Speaker 2: sobre el cuadrilátero, es el primer tratado en la historia
[1:13:30] Speaker 2: de las matemáticas dedicado enteramente a la trigonometría, separada de
[1:13:35] Speaker 2: la astronomía. No hay planetas en ese libro. No hay
[1:13:39] Speaker 2: predicciones astronómicas. Es un libro de matemáticas puras, organizado desde
[1:13:45] Speaker 2: las definiciones y los axiomas, hasta las demostraciones completas, exactamente
[1:13:50] Speaker 2: en el estilo de los elementos de Euclides, pero aplicado
[1:13:54] Speaker 2: a la trigonometría. En esa obra, Althussi enunció y demostró
[1:13:58] Speaker 2: formalmente la ley de los senos para triángulos planos, en
[1:14:02] Speaker 2: la forma que enseñamos hoy. En cualquier triángulo, la razón
[1:14:06] Speaker 2: entre un lado y el seno del ángulo opuesto es constante.
[1:14:10] Speaker 2: Dicho con letras, A dividido entre el seno de A
[1:14:13] Speaker 2: es igual a B, dividido entre el seno de B
[1:14:16] Speaker 2: es igual a C, dividido entre el seno de C.
[1:14:19] Speaker 2: Esa ley permite resolver cualquier triángulo si conoces dos ángulos
[1:14:23] Speaker 2: y un lado, o dos lados y el ángulo opuesto
[1:14:26] Speaker 2: a uno de ellos. Es quizás la herramienta más útil
[1:14:29] Speaker 2: de la trigonometría plana después del teorema de Pitágoras, y
[1:14:34] Speaker 2: Althussi la demostró con rigor completo. También demostró la ley
[1:14:38] Speaker 2: de los senos esférica para triángulos en la esfera, que
[1:14:42] Speaker 2: es la generalización de la misma ley a la superficie curva.
[1:14:46] Speaker 2: enunció la ley de las tangentes para triángulos esféricos, que
[1:14:50] Speaker 2: permite calcular lados y ángulos usando tangentes en vez de senos.
[1:14:55] Speaker 2: Listó y resolvió los seis casos posibles de un triángulo
[1:14:59] Speaker 2: rectángulo esférico, agotando todos los posibles tipos de datos conocidos
[1:15:04] Speaker 2: y desconocidos. Y todo eso lo hizo con demostraciones completas,
[1:15:09] Speaker 2: no con simples reglas prácticas sin justificación. Lo que Althussi
[1:15:14] Speaker 2: logró fue En palabras del historiador de las matemáticas J. L. Bergren,
[1:15:19] Speaker 2: la primera exposición completa del sistema de trigonometría plana y
[1:15:23] Speaker 2: esférica en la historia. No primer resumen útil, ni primera
[1:15:28] Speaker 2: versión práctica. La primera exposición completa. El libro que si
[1:15:33] Speaker 2: lo lees con ojos modernos, reconoces como un tratado de
[1:15:36] Speaker 2: trigonometría en el sentido actual del término. Pero hay un
[1:15:41] Speaker 2: episodio en la historia de la transmisión de la obra
[1:15:44] Speaker 2: de Althussi que merece atención porque ilustra algo importante sobre
[1:15:49] Speaker 2: cómo se construye la historia de la ciencia y quién
[1:15:52] Speaker 2: recibe el crédito. A finales del siglo XV, un matemático
[1:15:57] Speaker 2: alemán llamado Johannes Müller, conocido como Regiomontanus, escribió una obra
[1:16:03] Speaker 2: titulada De triangulis omnimodis, sobre los triángulos de todo tipo.
[1:16:09] Speaker 2: Se publicó póstumamente en 1533. y fue la primera obra en
[1:16:14] Speaker 2: latín dedicada exclusivamente a la trigonometría. Regiomontanus fue tratado durante siglos,
[1:16:20] Speaker 2: y a veces todavía lo es en textos de divulgación superficiales,
[1:16:25] Speaker 2: como el fundador de la trigonometría moderna. El problema es
[1:16:29] Speaker 2: que de Triangulis contiene el trabajo de Althussi, los teoremas
[1:16:33] Speaker 2: de Althussi, las demostraciones de Althussi, sin dar crédito al
[1:16:37] Speaker 2: matemático persa. No sabemos con certeza si Regiomontanus conocía la
[1:16:43] Speaker 2: obra de Althussi directamente, o si llegó a los mismos
[1:16:47] Speaker 2: resultados de forma independiente, pero los historiadores modernos que han
[1:16:52] Speaker 2: estudiado el asunto en detalle consideran que la influencia es
[1:16:56] Speaker 2: muy probable. La historia oficial de la trigonometría europea durante
[1:17:01] Speaker 2: siglos convenientemente omitió que lo que Regiomontanus estaba haciendo era
[1:17:06] Speaker 2: en gran medida Sistematizar el trabajo que Althussi había completado 200
[1:17:12] Speaker 2: años antes. Ahora bien, antes de cerrar este segundo bloque,
[1:17:17] Speaker 2: hagamos el mismo ejercicio conceptual que hicimos al final del primero.
[1:17:22] Speaker 2: Situémonos en el año 1000 de nuestra era, a mitad camino
[1:17:26] Speaker 2: exactamente entre la época de Ptolomeo y la Revolución Científica Europea.¿
[1:17:30] Speaker 2: Qué tenían los matemáticos islámicos que los griegos no habían tenido?
[1:17:36] Speaker 2: Tenían el seno como función central, no la cuerda. Esa
[1:17:40] Speaker 2: diferencia es crucial porque permite formular los resultados trigonométricos de
[1:17:45] Speaker 2: forma más compacta y más general. Tenían las seis funciones trigonométricas,
[1:17:51] Speaker 2: no sólo una o dos. El coseno como función explícita,
[1:17:55] Speaker 2: no sólo el seno del ángulo complementario. La tangente como
[1:17:59] Speaker 2: razón seno-puloseno, con tablas propias. La cotangente, secante y cosecante.
[1:18:05] Speaker 2: con definiciones claras y tablas calculadas. Tenían tablas de muchísima
[1:18:10] Speaker 2: mayor precisión que Ptolomeo. Donde el Almagesto tenía entradas cada
[1:18:14] Speaker 2: medio grado, Abu al-Wafa tenía entradas cada cuarto de grado
[1:18:18] Speaker 2: con el doble de cifra significativa. Tenían identidades. No sólo
[1:18:23] Speaker 2: el seno del ángulo doble es tal cosa, sino el
[1:18:26] Speaker 2: conjunto sistemático de relaciones entre las seis funciones, las identidades pitagóricas,
[1:18:32] Speaker 2: las fórmulas de adición, las fórmulas de ángulo mitad, el
[1:18:36] Speaker 2: álgebra trigonométrica como estructura formal. Y con Altusi, tenían la
[1:18:42] Speaker 2: ley de los senos completa para triángulos planos y esféricos,
[1:18:46] Speaker 2: demostrada con rigor, y todo el edificio de la trigonometría
[1:18:50] Speaker 2: como disciplina independiente. Lo que todavía les faltaba era el
[1:18:55] Speaker 2: paso final hacia la abstracción completa. Las funciones trigonométricas islámicas
[1:19:01] Speaker 2: seguían siendo longitudes o razones entre longitudes en triángulos o
[1:19:05] Speaker 2: círculos concretos. No eran funciones en el sentido que damos
[1:19:10] Speaker 2: a ese término en matemáticas modernas. Reglas que asocian a
[1:19:14] Speaker 2: cada número real un valor único, definidas en todo el dominio,
[1:19:18] Speaker 2: con propiedades de continuidad, derivabilidad y periodicidad que se pueden
[1:19:23] Speaker 2: estudiar con las herramientas del análisis. Ese paso, la trigonometría
[1:19:29] Speaker 2: como análisis matemático, llegaría en Europa y lo cubriremos en
[1:19:33] Speaker 2: la tercera sección. Pero la fundación estaba completa. Una cosa
[1:19:38] Speaker 2: más merece ser dicha antes de cerrar. A lo largo
[1:19:42] Speaker 2: de estos siglos, tanto en India como en el mundo islámico,
[1:19:45] Speaker 2: la trigonometría fue inseparable de la astronomía. Pero la razón
[1:19:50] Speaker 2: por la que la astronomía era tan importante no era
[1:19:52] Speaker 2: puramente filosófica o curiosidad intelectual. Era política, religiosa y económica.
[1:20:00] Speaker 2: Las cortes necesitaban astrónomos para predecir eclipses, que tenían significado
[1:20:05] Speaker 2: simbólico y ritual enorme. Las religiones necesitaban astrónomos para calcular
[1:20:11] Speaker 2: los calendarios exactos de sus fiestas sagradas, para determinar los
[1:20:16] Speaker 2: tiempos de ayuno y de oración, para establecer la dirección
[1:20:19] Speaker 2: de los templos y las mezquitas. Los comerciantes necesitaban la
[1:20:24] Speaker 2: astronomía para la navegación en alta mar. Los gobernantes la
[1:20:29] Speaker 2: necesitaban para la agrimensura y la cartografía de sus territorios.
[1:20:33] Speaker 2: Esa presión constante de necesidades prácticas fue lo que mantuvo
[1:20:38] Speaker 2: la trigonometría como una disciplina viva y en desarrollo durante siglos.
[1:20:44] Speaker 2: No era matemática de lujo. Era la ingeniería de alta
[1:20:48] Speaker 2: precisión del mundo preindustrial. y el hecho de que hoy
[1:20:52] Speaker 2: en día tengamos palabras como seno que comenzaron en India
[1:20:55] Speaker 2: como cuerda de arco, viajaron a Arabia como una transliteración fonética,
[1:21:01] Speaker 2: fueron confundidas por traductores árabes con una palabra para bolsillo
[1:21:05] Speaker 2: o pliegue del vestido, y terminaron en latín como sinus,
[1:21:10] Speaker 2: que significa bahía o curva del cuerpo, y de ahí
[1:21:14] Speaker 2: en español y en inglés como seno y sine. Esa
[1:21:17] Speaker 2: cadena etimológica enredada y accidental es en sí misma el
[1:21:21] Speaker 2: mejor resumen del viaje que la trigonometría hizo por tres
[1:21:25] Speaker 2: continentes y 16 siglos antes de llegar a la forma que
[1:21:29] Speaker 2: usamos hoy. Cuando los textos matemáticos árabes comenzaron a llegar
[1:21:34] Speaker 2: a Europa Occidental, lo hicieron por dos rutas principales. La
[1:21:38] Speaker 2: primera fue la península ibérica, donde convivieron durante siglos las
[1:21:43] Speaker 2: culturas árabe, judía y cristiana. y donde ciudades como Toledo
[1:21:47] Speaker 2: y Córdoba se convirtieron en centros de traducción activa. La
[1:21:52] Speaker 2: segunda fue el sur de Italia y Sicilia, que habían
[1:21:55] Speaker 2: estado bajo dominio normando y árabe, y donde los contactos
[1:21:59] Speaker 2: culturales con el mundo islámico eran directos y continuos. A
[1:22:03] Speaker 2: partir del siglo XII, una oleada de traducciones llevó al
[1:22:07] Speaker 2: latín las obras de Al-Batani, Abu al-Wafa, Al-Tusi, y junto
[1:22:12] Speaker 2: con ellas todo el saber trigonométrico que esas figuras habían acumulado.
[1:22:18] Speaker 2: Para el año 1200, cualquier estudioso de matemáticas en Europa podía
[1:22:25] Speaker 2: en principio acceder a tablas de senos, a las seis
[1:22:28] Speaker 2: funciones trigonométricas, y a los teoremas fundamentales de la trigonometría
[1:22:33] Speaker 2: plana y esférica. Lo que tardó más en llegar fue
[1:22:37] Speaker 2: la comprensión profunda de lo que todo eso significaba, y
[1:22:40] Speaker 2: cómo organizarlo en un sistema coherente. El primer paso verdaderamente
[1:22:45] Speaker 2: europeo fue el de los matemáticos de la llamada Primera
[1:22:49] Speaker 2: Escuela de Viena, en el siglo XV. Johannes de Gmunden,
[1:22:53] Speaker 2: que murió en 1442, produjo un tratado sobre senos, cuerdas y
[1:22:59] Speaker 2: arcos que fue el primer texto matemático europeo dedicado específicamente
[1:23:03] Speaker 2: a las funciones trigonométricas, aunque era más una síntesis del
[1:23:08] Speaker 2: material árabe que una obra original. Su sucesor Georg von Feuerbach,
[1:23:13] Speaker 2: que vivió entre 1423 y 1461, calculó nuevas tablas de senos y
[1:23:21] Speaker 2: comenzó la tarea de producir una versión abreviada del Almagesto
[1:23:25] Speaker 2: de Ptolomeo que fuera más accesible. Feuerbach murió antes de
[1:23:30] Speaker 2: terminar esa tarea y la encargó a su estudiante más brillante.
[1:23:35] Speaker 2: Ese estudiante fue Johannes Müller, nacido en 1436. conocido universalmente por
[1:23:41] Speaker 2: el nombre latinizado de Regiomontanus, que significa simplemente de la
[1:23:45] Speaker 2: montaña del rey, la traducción de su ciudad natal, Königsberg.
[1:23:51] Speaker 2: Regiomontanus terminó el resumen del Almagesto que Peuerbach había empezado,
[1:23:56] Speaker 2: una obra conocida como el Epítome del Almagesto, que fue
[1:24:01] Speaker 2: publicada en Venecia en 1496. y se convirtió en el libro
[1:24:06] Speaker 2: de texto astronómico estándar en Europa durante décadas. La lectura
[1:24:11] Speaker 2: de ese texto por parte del joven Copérnico, que era
[1:24:14] Speaker 2: estudiante en Bolonia en ese momento, fue uno de los
[1:24:17] Speaker 2: detonantes de la revolución heliocéntrica. Pero la contribución de Regiomontanus
[1:24:22] Speaker 2: a la trigonometría fue independiente del Almagesto. En 1464 escribió una
[1:24:29] Speaker 2: obra titulada De Triángulis Omnimodis, sobre los triángulos de todo tipo,
[1:24:35] Speaker 2: en cinco libros. No la publicó en vida, murió en 1476,
[1:24:40] Speaker 2: y el texto no fue impreso hasta 1533, casi 70 años después
[1:24:45] Speaker 2: de ser escrito. Pero cuando apareció, fue inmediatamente reconocida como
[1:24:49] Speaker 2: lo que era. La primera obra en latín que trataba
[1:24:53] Speaker 2: la trigonometría como una disciplina matemática completa, independiente de la astronomía,
[1:24:59] Speaker 2: con definiciones rigurosas, demostraciones completas y tablas de todas las funciones.
[1:25:06] Speaker 2: Regiomontanus presentó la ley de los senos para triángulos planos,
[1:25:10] Speaker 2: la ley de los cosenos y los métodos para resolver
[1:25:14] Speaker 2: los seis casos posibles de resolución de triángulos. En su
[1:25:18] Speaker 2: introducción escribió una frase que puede leerse como el espíritu
[1:25:22] Speaker 2: de toda la tradición que examinamos en este episodio. Vosotros,
[1:25:27] Speaker 2: los que deseáis estudiar cosas grandes y maravillosas, los que
[1:25:32] Speaker 2: os maravilláis ante el movimiento de las estrellas, debéis leer
[1:25:36] Speaker 2: estas cosas. Era un llamado a la matemática como la
[1:25:40] Speaker 2: clave del cosmos, exactamente el mismo impulso que había llevado
[1:25:44] Speaker 2: a Hiparco a calcular su tabla de cuerdas quince siglos antes.
[1:25:49] Speaker 2: La cuestión de cuánto de De Triangulis era original de
[1:25:52] Speaker 2: Regiomontanus y cuánto era trabajo de Altusi, sin reconocimiento, ha
[1:25:57] Speaker 2: sido debatida por los historiadores. La obra del siglo XIII
[1:26:00] Speaker 2: de Althussi era conocida en Europa a través de traducciones,
[1:26:06] Speaker 2: aunque de circulación limitada. Los estudiosos modernos que han analizado
[1:26:11] Speaker 2: ambos textos con detalle encuentran paralelismos demasiado precisos para ser
[1:26:17] Speaker 2: simples coincidencias, pero también hay argumentos para una reinvención paralela.
[1:26:23] Speaker 2: Lo que está claro es que la historiografía europea durante
[1:26:27] Speaker 2: los siglos siguientes Trató a Regiomontanus como el padre de
[1:26:31] Speaker 2: la trigonometría moderna, borrando efectivamente de la memoria pública el
[1:26:36] Speaker 2: papel central de Altusi. Sólo el trabajo académico del siglo
[1:26:40] Speaker 2: XX ha restituido plenamente ese crédito. Mientras todo esto ocurría,
[1:26:46] Speaker 2: la trigonometría estaba siendo empujada hacia la modernidad por una
[1:26:50] Speaker 2: necesidad nueva y urgente que los astrónomos griegos e islámicos
[1:26:54] Speaker 2: no habían tenido que afrontar, la navegación oceánica. En la
[1:26:59] Speaker 2: segunda mitad del siglo XV, los navegantes portugueses y españoles
[1:27:04] Speaker 2: comenzaron a adentrarse sistemáticamente en el Atlántico, primero bordeando la
[1:27:10] Speaker 2: costa africana y luego cruzando hacia América y rodeando África
[1:27:14] Speaker 2: hacia el Índico. Navegar en alta mar, sin costa visible,
[1:27:19] Speaker 2: sin puntos de referencia terrestres, durante semanas o meses, requería
[1:27:24] Speaker 2: calcular la posición del barco con exactitud a partir de
[1:27:27] Speaker 2: las observaciones astronómicas. Y eso era trigonometría esférica aplicada en
[1:27:33] Speaker 2: tiempo real, en la cubierta de un barco que se
[1:27:36] Speaker 2: balanceaba sobre el océano. El cálculo de la latitud a
[1:27:40] Speaker 2: partir de la altura del Sol al mediodía, o de
[1:27:43] Speaker 2: la estrella polar sobre el horizonte, era trigonometría directa. El
[1:27:48] Speaker 2: cálculo de la longitud era mucho más difícil y requería
[1:27:52] Speaker 2: tablas precisas de los movimientos de la Luna y los planetas,
[1:27:55] Speaker 2: construidas con trigonometría esférica refinada. Los grandes centros de producción
[1:28:01] Speaker 2: de tablas náuticas, como la Escuela de Sagres, bajo el
[1:28:05] Speaker 2: patronazgo del infante Dom Enrique de Portugal, y luego los
[1:28:09] Speaker 2: Observatorios Reales de España y Portugal, eran en realidad fábricas
[1:28:14] Speaker 2: de trigonometría aplicada. Las tablas de senos y tangentes que
[1:28:18] Speaker 2: producían no eran ejercicios académicos. Eran herramientas de supervivencia para
[1:28:24] Speaker 2: los marineros y herramientas de poder económico para los imperios
[1:28:28] Speaker 2: que los financiaban. Sin trigonometría precisa, no había imperio español,
[1:28:34] Speaker 2: no había ruta de las especias, no había comercio atlántico.
[1:28:39] Speaker 2: Nicolás Copérnico, que vivió entre 1473 y 1543, incluyó un tratado completo
[1:28:49] Speaker 2: de trigonometría en su obra monumental de Revolutionibus Orbium Coelestium
[1:28:55] Speaker 2: sobre las revoluciones de las esferas celestes, publicada en 1543. No
[1:29:00] Speaker 2: lo incluyó porque fuera necesario para la astronomía heliocéntrica en particular,
[1:29:06] Speaker 2: sino porque cualquier obra seria de astronomía en esa época
[1:29:10] Speaker 2: tenía que venir con sus propias tablas trigonométricas. Copérnico conocía
[1:29:15] Speaker 2: a Regiomontanus y había estudiado de triangulis. Las tablas de
[1:29:20] Speaker 2: Copérnico cubrían senos con un radio de 100.000, en intervalos de 10
[1:29:25] Speaker 2: minutos de arco. Pero el gran proyecto trigonométrico del siglo XVI,
[1:29:30] Speaker 2: posiblemente el mayor esfuerzo de cálculo manual en la historia
[1:29:33] Speaker 2: de las matemáticas, fue el del discípulo de Copérnico, Georg
[1:29:38] Speaker 2: Joachim Rético, conocido como Rético. Reticus nació en 1514 en lo
[1:29:44] Speaker 2: que hoy es Austria. Fue el único estudiante que Copérnico
[1:29:48] Speaker 2: aceptó personalmente, y fue quien convenció al ya anciano Copérnico
[1:29:53] Speaker 2: de publicar el De Revolutionibus. Pero la contribución independiente de
[1:29:58] Speaker 2: Reticus a la trigonometría fue incluso más impresionante. En 1551, Reticus
[1:30:06] Speaker 2: publicó un primer trabajo de tablas trigonométricas de seis funciones.
[1:30:10] Speaker 2: el canon de la ciencia de los triángulos, con tablas
[1:30:13] Speaker 2: calculadas cada 10 minutos y precisión de 7 cifras decimales. Era el
[1:30:19] Speaker 2: primer trabajo publicado en Europa que incluía las 6 funciones trigonométricas explícitamente.
[1:30:26] Speaker 2: Pero Reticus quería más. Quería construir la tabla trigonométrica definitiva,
[1:30:32] Speaker 2: calculada para todos los ángulos en intervalos de 10 segundos de arco,
[1:30:36] Speaker 2: con 10 cifras decimales de precisión. Eso significaba calcular aproximadamente 100.000 valores
[1:30:44] Speaker 2: distintos para cada una de las seis funciones, a mano,
[1:30:48] Speaker 2: usando solo algoritmos de diferencias y multiplicaciones laboriosas de grandes números.
[1:30:54] Speaker 2: Reticus trabajó en esa tabla hasta su muerte en 1574, sin terminarla.
[1:31:00] Speaker 2: Su estudiante Valentín Usoto tomó el trabajo y lo completó.
[1:31:05] Speaker 2: El resultado... Publicado en 1596 bajo el título Opus Palatinum de Triángulis,
[1:31:12] Speaker 2: el trabajo palatino sobre triángulos, en honor al elector palatino
[1:31:16] Speaker 2: que lo financió, llenó casi 1500 páginas. Contenía tablas de seno, coseno, tangente, cotangente,
[1:31:24] Speaker 2: secante y cosecante, para cada 10 segundos de arco de 0 a 90 grados,
[1:31:30] Speaker 2: con precisión de 10 cifras significativas. sus tablas eran tan exactas
[1:31:35] Speaker 2: que se usaron en cálculos astronómicos hasta los primeros años
[1:31:38] Speaker 2: del siglo XX. Esos son 300 años de uso continuo de
[1:31:44] Speaker 2: un producto de cálculo manual. Poco después de publicado el
[1:31:47] Speaker 2: Opus Palatinum, un teólogo y matemático alemán llamado Bartolomaeus Pitiscus
[1:31:54] Speaker 2: encontró algunos errores en las tablas de cotangentes y cosecantes.
[1:31:58] Speaker 2: Pitiscus emprendió la corrección Extendió las tablas de senos de
[1:32:02] Speaker 2: Reticus a 15 cifras decimales y publicó el resultado en 1613. Pero
[1:32:09] Speaker 2: su contribución más duradera no fue esa corrección. Fue una
[1:32:13] Speaker 2: sola palabra que aparece en el título de su obra
[1:32:16] Speaker 2: principal de 1595, Trigonometría. Esa es la primera vez en la
[1:32:21] Speaker 2: historia que aparece la palabra trigonometría. Pitiscus la formó del
[1:32:26] Speaker 2: griego trigónon, triángulo, y metron, medida. Medida de triángulos, una
[1:32:32] Speaker 2: disciplina que llevaba al menos dos mil años existiendo, desde
[1:32:36] Speaker 2: Hiparco hasta Altusi, desde los Sidantas hasta Regiomontanus, finalmente tenía
[1:32:43] Speaker 2: nombre propio en 1595. Es un recordatorio de que a veces
[1:32:47] Speaker 2: las ideas se desarrollan durante siglos antes de que alguien
[1:32:51] Speaker 2: les ponga el nombre que las define. El último gran
[1:32:56] Speaker 2: acto en la consolidación de la trigonometría europea renacentista fue
[1:33:00] Speaker 2: el de François Viet, conocido en latín como Franciscus Vieta,
[1:33:04] Speaker 2: que vivió entre 1540 y 1603. Viet es mejor conocido por su
[1:33:10] Speaker 2: papel en el desarrollo del álgebra simbólica moderna, siendo el
[1:33:15] Speaker 2: primero en usar letras sistemáticamente para representar cantidades tanto conocidas
[1:33:20] Speaker 2: como desconocidas. pero aplicó esa misma capacidad algebraica a la trigonometría,
[1:33:27] Speaker 2: derivando las fórmulas de múltiplos del ángulo con un rigor
[1:33:31] Speaker 2: algebraico que las versiones anteriores no tenían. Mostró que el
[1:33:35] Speaker 2: coseno del ángulo n veces alfa podía expresarse como un
[1:33:40] Speaker 2: polinomio en el coseno de alfa, derivando lo que hoy
[1:33:43] Speaker 2: conocemos como las fórmulas de Chebyshev en un contexto mucho
[1:33:47] Speaker 2: más primitivo. También descubrió en 1593 una fórmula para pi como
[1:33:54] Speaker 2: un producto infinito, el primer producto infinito explícito de la
[1:33:58] Speaker 2: historia de las matemáticas, involucrando radicales anidados de forma recursiva.
[1:34:04] Speaker 2: Era trigonometría y análisis fusionados en algo nuevo. Y aquí
[1:34:10] Speaker 2: hay que hacer una pausa para mencionar algo que la
[1:34:12] Speaker 2: historia oficial de la trigonometría suele relegar al margen. La
[1:34:17] Speaker 2: escuela de Kerala, en el sur de la India, había
[1:34:20] Speaker 2: llegado a resultados equivalentes con una anticipación de más de
[1:34:24] Speaker 2: dos siglos respecto a los europeos. Madhava de Sangamagrama, que
[1:34:29] Speaker 2: vivió entre aproximadamente 1350 y 1425, fundó una escuela matemática en Kerala
[1:34:37] Speaker 2: que produjo durante los siglos XV y XVI los desarrollos
[1:34:42] Speaker 2: más avanzados en trigonometría que el mundo había visto hasta
[1:34:45] Speaker 2: ese momento. Madhava derivó series infinitas para el seno, el
[1:34:50] Speaker 2: coseno y la arcotangente, que son exactamente las series que
[1:34:54] Speaker 2: en Europa se atribuyen a Newton, Leibniz y Gregory en
[1:34:58] Speaker 2: la segunda mitad del siglo XVII. La serie del seno
[1:35:01] Speaker 2: de Madaba dice que el seno de un ángulo x,
[1:35:04] Speaker 2: con x en radianes, es igual a x menos x
[1:35:07] Speaker 2: al cubo dividido entre 3 factorial, más x a la quinta
[1:35:11] Speaker 2: dividido entre 5 factorial, menos x a la séptima dividido entre 7 factorial,
[1:35:17] Speaker 2: y así sucesivamente hasta el infinito. Esa es exactamente la
[1:35:22] Speaker 2: serie de Taylor del Seno que aprenden los estudiantes de
[1:35:25] Speaker 2: cálculo hoy en día. Madhava la tenía dos siglos antes
[1:35:30] Speaker 2: de que Newton redescubriera el cálculo diferencial e integral. Su
[1:35:34] Speaker 2: discípulo Nilakanta Somayaji y el matemático Yestadeva documentaron el trabajo
[1:35:40] Speaker 2: de Madhava y sus pruebas en el texto Yuktivasa, escrito
[1:35:44] Speaker 2: en Malabar, que es el idioma regional de Kerala. alrededor
[1:35:47] Speaker 2: del año 1530. Ese texto contiene demostraciones que son reconocibles como
[1:35:54] Speaker 2: argumentos de cálculo integral con notación diferente pero lógica equivalente.
[1:35:59] Speaker 2: Si hubo transmisión directa desde Kerala a Europa, es una
[1:36:04] Speaker 2: cuestión abierta entre los historiadores. Hay rutas posibles. Los jesuitas
[1:36:09] Speaker 2: mantenían presencia en Kerala desde el siglo XVI. y eran
[1:36:13] Speaker 2: hombres educados con interés activo en las matemáticas locales. Pero
[1:36:18] Speaker 2: no hay evidencia documental clara de que los manuscritos de
[1:36:23] Speaker 2: Kerala llegaran a Europa antes de que Newton y Gregory
[1:36:27] Speaker 2: derivaran sus series de forma independiente. La mayoría de los
[1:36:31] Speaker 2: historiadores consideran que fue una reinvención paralela. Lo que está
[1:36:36] Speaker 2: fuera de duda es que los matemáticos de Kerala lograron
[1:36:39] Speaker 2: resultados equivalentes con anticipación considerable, y que la historia de
[1:36:45] Speaker 2: las matemáticas durante siglos los ignoró por razones que tienen
[1:36:49] Speaker 2: más que ver con el acceso a la imprenta y
[1:36:52] Speaker 2: con el colonialismo cultural que con la calidad de sus matemáticas.
[1:36:56] Speaker 2: Llegamos ahora al momento que transforma definitivamente la trigonometría, el
[1:37:02] Speaker 2: siglo XVII y el nacimiento del cálculo. Isaac Newton, que
[1:37:07] Speaker 2: vivió entre 1643 y 1727, y Gottfried Wilhelm Leibniz, desarrollaron de forma
[1:37:21] Speaker 2: independiente y casi simultánea el cálculo diferencial e integral. Y
[1:37:26] Speaker 2: cuando las herramientas del cálculo se aplicaron a las funciones trigonométricas,
[1:37:31] Speaker 2: el resultado fue una revelación. El seno y el coseno
[1:37:36] Speaker 2: tienen una propiedad extraordinaria que los hace únicos entre todas
[1:37:41] Speaker 2: las funciones que los matemáticos conocían. La propiedad es esta.
[1:37:46] Speaker 2: La derivada del seno es el coseno, y la derivada
[1:37:49] Speaker 2: del coseno es el negativo del seno. Escrito de forma concisa,
[1:37:54] Speaker 2: d de sen dividido entre dx es igual a coseno
[1:37:58] Speaker 2: de x, y d de coseno dividido entre dx es
[1:38:02] Speaker 2: igual a menos seno de x. Si derivas el seno,
[1:38:06] Speaker 2: obtienes el coseno. Si derivas el coseno, obtienes el negativo
[1:38:10] Speaker 2: del seno. Y si dere, derivas el negativo del coseno,
[1:38:14] Speaker 2: obtienes el seno de nuevo. Cuatro derivaciones y vuelves al
[1:38:18] Speaker 2: punto de partida. Es una estructura circular perfecta, y es
[1:38:23] Speaker 2: lo que hace del seno y el coseno las funciones
[1:38:26] Speaker 2: periódicas por excelencia del cálculo. Esa propiedad tiene una consecuencia enorme.
[1:38:32] Speaker 2: El seno es la solución de la ecuación diferencial d
[1:38:34] Speaker 2: a cuadrado b dividido entre dx al cuadrado igual a
[1:38:38] Speaker 2: menos y. Esa ecuación describe cualquier sistema que oscile de
[1:38:42] Speaker 2: forma simple alrededor de un punto de equilibrio. Un péndulo
[1:38:46] Speaker 2: para ángulos pequeños, un resorte, el campo eléctrico de una
[1:38:51] Speaker 2: onda de luz, el desplazamiento de las cuerdas de un violín,
[1:38:55] Speaker 2: la presión de las ondas de sonido en el aire,
[1:38:58] Speaker 2: la corriente alterna en un circuito eléctrico. Todos esos fenómenos
[1:39:04] Speaker 2: están descritos matemáticamente por el seno y el coseno. La trigonometría,
[1:39:10] Speaker 2: que empezó midiendo ángulos en el cielo, se convirtió en
[1:39:13] Speaker 2: el lenguaje del movimiento oscilatorio en la naturaleza. Ese es
[1:39:18] Speaker 2: uno de los saltos conceptuales más grandes en la historia
[1:39:20] Speaker 2: de la ciencia. Newton descubrió las series de potencias del
[1:39:24] Speaker 2: seno y el coseno independientemente. La serie del seno es
[1:39:29] Speaker 2: la que mencionamos en relación a Madhava. x menos x
[1:39:33] Speaker 2: cubo sobre 6 más x a la quinta sobre 100, 20 menos x
[1:39:37] Speaker 2: a la séptima sobre 5040, y así sucesivamente, con denominadores que
[1:39:42] Speaker 2: son los factoriales de los números impares. La serie del
[1:39:46] Speaker 2: coseno es 1 menos x cuadrado sobre 2 más x a la
[1:39:50] Speaker 2: cuarta sobre 24, menos x a la sexta sobre 720, con denominadores
[1:39:56] Speaker 2: que son los factoriales de los números pares. James Gregory.
[1:40:01] Speaker 2: matemático escocés que vivió entre 1638 y 1675, descubrió de forma independiente
[1:40:09] Speaker 2: la serie para el arco tangente, y a partir de
[1:40:12] Speaker 2: ella derivó una fórmula para calcular pi que era conceptualmente elegante,
[1:40:16] Speaker 2: aunque convergía demasiado lentamente para ser práctica. Estas series son
[1:40:22] Speaker 2: el seno y el coseno vistos como objetos del análisis matemático,
[1:40:27] Speaker 2: no como longitudes en triángulo. Te permiten calcular el seno
[1:40:31] Speaker 2: de cualquier ángulo, de cualquier magnitud, con cualquier precisión que quieras,
[1:40:37] Speaker 2: simplemente sumando términos de la serie hasta que la aproximación
[1:40:40] Speaker 2: sea suficientemente buena. No necesitas una tabla. No necesitas interpolación.
[1:40:48] Speaker 2: Solo necesitas aritmética y paciencia, o en el mundo moderno,
[1:40:52] Speaker 2: un procesador que ejecuta esas sumas en nanosegundos. Y entonces
[1:40:56] Speaker 2: llegó Leonhard Euler. Euler nació en Basilea, Suiza, en 1707 y
[1:41:03] Speaker 2: murió en San Petersburgo, Rusia, en 1783. Fue el matemático más
[1:41:09] Speaker 2: prolífico de la historia, produjo más de 800 obras publicadas, y
[1:41:13] Speaker 2: sus obras completas llenan más de 80 volúmenes. Fue el matemático
[1:41:19] Speaker 2: que dio a las matemáticas modernas gran parte de su
[1:41:22] Speaker 2: notación y su estructura conceptual. El símbolo pi para la
[1:41:26] Speaker 2: razón de la circunferencia al diámetro Usado antes por otros,
[1:41:30] Speaker 2: pero estandarizado por Euler. La letra E para la base
[1:41:34] Speaker 2: de los logaritmos naturales. La letra I para la unidad imaginaria.
[1:41:38] Speaker 2: La notación f de x para funciones. La sigma para sumatorias.
[1:41:44] Speaker 2: Todo eso viene de Euler. En 1748, Euler publicó la Introductio
[1:41:49] Speaker 2: in Analysin Infinitorum, que el historiador Carl Boyer llamó el
[1:41:54] Speaker 2: libro de texto más importante de las matemáticas modernas. superando
[1:41:58] Speaker 2: incluso la geometría de Descartes y los principios de Newton
[1:42:03] Speaker 2: en influencia sobre la forma en que se enseña y
[1:42:05] Speaker 2: se piensa la matemática. Y en ese libro Euler hizo
[1:42:09] Speaker 2: algo con la trigonometría que nadie había hecho antes. La
[1:42:12] Speaker 2: redefinió completamente. La redefinición es conceptualmente sencilla, pero sus consecuencias
[1:42:19] Speaker 2: son enormes. Euler dijo, el seno y el coseno no
[1:42:23] Speaker 2: son longitudes en ningún triángulo ni en ningún círculo específico.
[1:42:28] Speaker 2: Son funciones. Reglas que toman un número real, un ángulo
[1:42:32] Speaker 2: medido en radianes, como entrada, y devuelven un número real
[1:42:36] Speaker 2: como salida. El seno es la función que asigna a
[1:42:39] Speaker 2: cada ángulo la coordenada vertical del punto del círculo unitario
[1:42:44] Speaker 2: que está a ese ángulo del eje positivo horizontal. El
[1:42:48] Speaker 2: coseno asigna la coordenada horizontal. Punto final. No hay triángulo,
[1:42:52] Speaker 2: no hay radio concreto, no hay longitud física. Solo una
[1:42:56] Speaker 2: función de un número real a otro número real. El
[1:43:01] Speaker 2: círculo unitario en la definición de Euler es el círculo
[1:43:04] Speaker 2: de radio 1 centrado en el origen de un sistema de coordenadas.
[1:43:09] Speaker 2: Con ese radio normalizado a 1, el seno es simplemente la
[1:43:13] Speaker 2: coordenada vertical, un número entre, y el coseno es la
[1:43:18] Speaker 2: coordenada horizontal, otro número entre. La identidad seno al cuadrado
[1:43:24] Speaker 2: más coseno al cuadrado igual a 1 es simplemente el teorema
[1:43:28] Speaker 2: de Pitágoras para ese punto en el círculo. Todo el
[1:43:31] Speaker 2: aparato de identidades, fórmulas de adición y leyes de senos
[1:43:35] Speaker 2: y cosenos se convierte en álgebra sobre funciones, no en
[1:43:40] Speaker 2: geometría sobre longitudes. Esto puede parecer una diferencia filosófica, o
[1:43:45] Speaker 2: pedagógica sin consecuencias prácticas. Pero es mucho más que eso.
[1:43:51] Speaker 2: Al convertir el seno en una función de un número real,
[1:43:54] Speaker 2: Euler habría la posibilidad de aplicarla a cualquier número real,
[1:43:58] Speaker 2: no solo a los ángulos entre 0 y 360 grados. El seno
[1:44:03] Speaker 2: de un millón de radianes está perfectamente bien definido. El
[1:44:08] Speaker 2: seno de un número negativo, de un número complejo, de
[1:44:12] Speaker 2: una variable en una ecuación diferencial, Todos son completamente legítimos
[1:44:16] Speaker 2: y útiles. La trigonometría de ángulos concretos se convirtió en
[1:44:21] Speaker 2: análisis de funciones periódicas generales. Y ahí es donde entra
[1:44:25] Speaker 2: la fórmula más famosa de la historia de las matemáticas.
[1:44:28] Speaker 2: Euler mostró, a través de las series de potencias, que
[1:44:33] Speaker 2: la función exponencial compleja evaluada en un número imaginario satisface
[1:44:38] Speaker 2: una relación extraordinaria. Si tomas el número e, la base
[1:44:42] Speaker 2: de los logaritmos naturales, y lo elevas a la potencia
[1:44:45] Speaker 2: de y por x, donde y es la raíz cuadrada
[1:44:48] Speaker 2: de menos 1 y x es cualquier número real, el resultado
[1:44:51] Speaker 2: es el coseno de x más y veces el seno
[1:44:54] Speaker 2: de x. En notación, e elevado a x es igual
[1:44:58] Speaker 2: a coseno de x más y por seno de x.
[1:45:00] Speaker 2: Esa es la fórmula de Euler. La demostración es directa
[1:45:04] Speaker 2: si conoces las series de potencias. Si expandes e elevado
[1:45:08] Speaker 2: a x en su serie de potencias, Sustituyendo x por
[1:45:12] Speaker 2: la variable en la serie estándar de la exponencial, los
[1:45:15] Speaker 2: términos con potencias pares de x forman exactamente la serie
[1:45:19] Speaker 2: del coseno, y los términos con potencias impares de x
[1:45:23] Speaker 2: multiplicados por y forman exactamente la serie del seno. Es decir,
[1:45:28] Speaker 2: la función exponencial compleja y las funciones trigonométricas no son
[1:45:33] Speaker 2: objetos matemáticos distintos. Son la misma cosa vista desde ángulos diferentes.
[1:45:39] Speaker 2: El seno de x es simplemente la parte imaginaria de
[1:45:42] Speaker 2: e elevado a x. El coseno de x es la
[1:45:45] Speaker 2: parte real. El caso especial que más ha capturado la
[1:45:48] Speaker 2: imaginación de matemáticos y aficionados a las matemáticas por igual
[1:45:52] Speaker 2: es cuando x vale pi. En ese caso, el coseno
[1:45:55] Speaker 2: de pi es menos uno y el seno de pi
[1:45:57] Speaker 2: es cero. Así que la fórmula se convierte en e
[1:45:59] Speaker 2: elevado a i por pi es igual a menos uno. Reordenando,
[1:46:04] Speaker 2: e elevado a i pi más uno es igual a cero.
[1:46:08] Speaker 2: Eso es la identidad de Euler, y ha sido repetidamente
[1:46:11] Speaker 2: votada como la ecuación más hermosa de las matemáticas porque
[1:46:15] Speaker 2: conecta en una única expresión compacta las cinco constantes más
[1:46:19] Speaker 2: fundamentales de toda la matemática. E, I, pi, 1 y 0. Pero
[1:46:25] Speaker 2: la importancia de la fórmula de Euler no es estética,
[1:46:29] Speaker 2: aunque también lo sea. Es funcional. La fórmula de Euler
[1:46:33] Speaker 2: significa que cualquier cálculo trigonométrico puede convertirse en un cálculo
[1:46:38] Speaker 2: con exponenciales complejas, y las exponenciales son mucho más fáciles
[1:46:43] Speaker 2: de manipular algebraicamente que los senos y cosenos. Las fórmulas
[1:46:47] Speaker 2: de adición para el seno y el coseno, que requieren
[1:46:50] Speaker 2: cierta memoria para recordar qué va sumado y qué va restado,
[1:46:54] Speaker 2: se convierten, con la fórmula de Euler, en la simple
[1:46:58] Speaker 2: multiplicación de exponenciales. e elevado a i por alfa multiplicado
[1:47:03] Speaker 2: por e elevado a i por beta es e elevado
[1:47:06] Speaker 2: a i por alfa más beta, que es la ley
[1:47:09] Speaker 2: de exponentes de toda la vida. La identidad del doble ángulo,
[1:47:13] Speaker 2: el producto de senos y cosenos, la suma de senos,
[1:47:17] Speaker 2: todo sale directamente de la fórmula de Euler sin necesidad
[1:47:21] Speaker 2: de memorizar nada. En física e ingeniería, la fórmula de
[1:47:25] Speaker 2: Euler es indispensable. Los ingenieros eléctricos que trabajan con corriente
[1:47:31] Speaker 2: alterna representan la corriente y el voltaje como números complejos,
[1:47:35] Speaker 2: usando la notación fasorial, que es exactamente la fórmula de
[1:47:39] Speaker 2: Euler aplicada a señales sinusoidales. Los físicos que estudian mecánica
[1:47:45] Speaker 2: cuántica trabajan con funciones de onda que son exponenciales complejas.
[1:47:50] Speaker 2: Los ingenieros de telecomunicaciones que diseñan redes de antenas manipulan
[1:47:55] Speaker 2: señales que son sumas de exponenciales complejas. La fórmula de
[1:48:00] Speaker 2: Euler es la lengua franca del análisis de señales en
[1:48:04] Speaker 2: toda la ingeniería moderna. Cronológicamente, seguimos en el siglo XVIII,
[1:48:10] Speaker 2: y hay otro nombre que debe mencionarse antes de hablar
[1:48:13] Speaker 2: del siglo XIX, Joseph Fourier. Fourier vivió entre 1768 y 1830, y
[1:48:22] Speaker 2: su contribución a la trigonometría es la teoría que lleva
[1:48:26] Speaker 2: su nombre, el análisis de Fourier. La idea central del
[1:48:30] Speaker 2: análisis de Fourier puede enunciarse con una frase. Cualquier función
[1:48:35] Speaker 2: periódica puede descomponerse como una suma de senos y cosenos
[1:48:39] Speaker 2: de diferentes frecuencias. Dicho de otra forma, si tienes una
[1:48:43] Speaker 2: función que se repite con cierta periodicidad, por complicada y
[1:48:47] Speaker 2: regular que sea su forma, puedes escribirla como la suma
[1:48:51] Speaker 2: de un seno más otro seno del doble de la
[1:48:53] Speaker 2: frecuencia más otro del triple, y así sucesivamente, cada uno
[1:48:58] Speaker 2: con su propio coeficiente que indica cuánto de esa frecuencia
[1:49:02] Speaker 2: hay en la función original. Fourier desarrolló esta idea para
[1:49:07] Speaker 2: resolver el problema de la conducción del calor en un sólido,
[1:49:11] Speaker 2: que era el problema de moda en la física de
[1:49:13] Speaker 2: su época. pero sus consecuencias se extendieron a todo lo
[1:49:17] Speaker 2: que tiene que ver con ondas y periodicidad. Una onda
[1:49:21] Speaker 2: de sonido, por ejemplo, es una variación periódica de la
[1:49:25] Speaker 2: presión del aire. Esa variación puede ser cualquier forma. La
[1:49:30] Speaker 2: de un violín tocando un la tiene una forma característica
[1:49:34] Speaker 2: muy diferente a la de una flauta tocando el mismo la,
[1:49:38] Speaker 2: aunque ambas vibraciones tengan la misma frecuencia fundamental. La diferencia
[1:49:43] Speaker 2: de timbre entre los dos instrumentos es exactamente la diferencia
[1:49:47] Speaker 2: en los coeficientes de Fourier. El violín tiene más presencia
[1:49:50] Speaker 2: de ciertas frecuencias armónicas y la flauta de otras. La
[1:49:55] Speaker 2: descomposición de Fourier te dice exactamente qué mezcla de frecuencias
[1:49:59] Speaker 2: hay en cada sonido. Y sintetizar un sonido equivale a
[1:50:04] Speaker 2: construir la combinación correcta de senos y cosenos. Todo el
[1:50:09] Speaker 2: campo de la síntesis digital de sonido desde los primeros
[1:50:12] Speaker 2: sintetizadores electrónicos hasta los instrumentos virtuales de las producciones musicales modernas,
[1:50:19] Speaker 2: es análisis de Fourier aplicado. En el siglo XIX y
[1:50:24] Speaker 2: principios del XX, el análisis de Fourier se extendió de
[1:50:28] Speaker 2: funciones periódicas a funciones generales, a través de la transformada
[1:50:33] Speaker 2: de Fourier, que generaliza la descomposición en frecuencias a funciones
[1:50:37] Speaker 2: que no son periódicas en sentido estricto. La transformada de
[1:50:42] Speaker 2: Fourier toma cualquier función del tiempo y la convierte en
[1:50:45] Speaker 2: una función de la frecuencia, mostrando cuáles son las componentes
[1:50:50] Speaker 2: frecuenciales que la componen. Y la transformada inversa de Fourier
[1:50:55] Speaker 2: hace el camino de vuelta. A partir del espectro de frecuencias,
[1:51:00] Speaker 2: reconstruye la función temporal original. La transformada de Fourier está
[1:51:05] Speaker 2: en el corazón de casi toda la tecnología digital moderna.
[1:51:10] Speaker 2: El procesamiento de imágenes digitales, incluyendo la compresión JPEG que
[1:51:15] Speaker 2: uses cuando guardas una foto en tu teléfono, está basado
[1:51:18] Speaker 2: en la transformada discreta del coseno, que es una variante
[1:51:22] Speaker 2: de la transformada de Fourier. El algoritmo JPEG descompone la
[1:51:27] Speaker 2: imagen en bloques de 8x8 píxeles. Aplica la transformada del
[1:51:31] Speaker 2: coseno a cada bloque, que convierte el bloque en sus
[1:51:35] Speaker 2: componentes frecuenciales, Descarta las componentes de alta frecuencia, que el
[1:51:40] Speaker 2: ojo humano no distingue bien, y guarda solo los coeficientes
[1:51:44] Speaker 2: de baja frecuencia. Eso reduce enormemente el tamaño del archivo,
[1:51:49] Speaker 2: sin pérdida perceptible de calidad. Cada vez que le sacas
[1:51:53] Speaker 2: una foto a algo y la compartes, estás usando trigonometría.
[1:51:58] Speaker 2: El audio digital, incluyendo el formato MP3, funciona de forma similar.
[1:52:03] Speaker 2: El algoritmo toma la señal de audio, Aplica una transformada frecuencial,
[1:52:08] Speaker 2: identifica las componentes que el oído humano no puede distinguir
[1:52:12] Speaker 2: en ese contexto y las elimina y guarda el resto
[1:52:16] Speaker 2: con la precisión necesaria. La síntesis de voz, el reconocimiento
[1:52:20] Speaker 2: de voz, los efectos de audio, la cancelación de ruido
[1:52:24] Speaker 2: en los auriculares con esa función. Todo análisis de Fourier,
[1:52:29] Speaker 2: todo trigonometría. El GPS merece una explicación aparte. porque ilustra
[1:52:35] Speaker 2: de forma especialmente clara cómo la trigonometría recorre el camino
[1:52:40] Speaker 2: desde los cielos antiguos hasta la tecnología cotidiana. El sistema
[1:52:45] Speaker 2: GPS consiste en una constelación de al menos 24 satélites que
[1:52:50] Speaker 2: orbitan la Tierra a una altitud de aproximadamente 20.000 km. Cada
[1:52:55] Speaker 2: satélite emite continuamente señales de radio que incluyen un código
[1:52:59] Speaker 2: de identificación y una marca temporal muy precisa de cuándo
[1:53:04] Speaker 2: se emitió la señal. Tu receptor GPS recibe las señales
[1:53:08] Speaker 2: de varios satélites simultáneamente. Como sabe a qué velocidad viaja
[1:53:13] Speaker 2: la señal de radio, puede calcular cuánto tiempo tardó en
[1:53:17] Speaker 2: llegar de cada satélite a tu receptor, y por tanto,
[1:53:20] Speaker 2: la distancia a cada satélite. Si conoces tu distancia a
[1:53:25] Speaker 2: un satélite, eso significa que estás en algún punto de
[1:53:29] Speaker 2: la superficie de una esfera de ese radio alrededor del satélite.
[1:53:33] Speaker 2: Si conoces tu distancia a dos satélites, estás en la
[1:53:36] Speaker 2: intersección de dos esferas, que es un círculo. Si conoces
[1:53:40] Speaker 2: tu distancia a tres satélites, la intersección de tres esferas
[1:53:44] Speaker 2: es generalmente dos puntos. Un cuarto satélite permite resolver la
[1:53:49] Speaker 2: ambigüedad y también corregir los errores del reloj del receptor,
[1:53:54] Speaker 2: que no es tan preciso como el reloj atómico de
[1:53:57] Speaker 2: los satélites. Con cuatro satélites tienes tu posición en las
[1:54:02] Speaker 2: tres dimensiones espaciales más el error de reloj. Cuatro incógnitas
[1:54:06] Speaker 2: resueltas con cuatro ecuaciones. Pero ese cálculo, la intersección de esferas,
[1:54:12] Speaker 2: la conversión de coordenadas esféricas a coordenadas terrestres de latitud
[1:54:17] Speaker 2: y longitud, la corrección de los efectos relativistas sobre los
[1:54:21] Speaker 2: relojes de los satélites, todo eso es trigonometría esférica. Y
[1:54:27] Speaker 2: en la recepción y procesamiento de las señales de radio
[1:54:30] Speaker 2: de los satélites, se usan transformadas de Fourier para separar
[1:54:35] Speaker 2: las señales de distintos satélites que llegan mezcladas, para correlacionar
[1:54:40] Speaker 2: los códigos y medir los tiempos de llegada con precisión
[1:54:44] Speaker 2: de nanosegundos. Sin trigonometría en ambos niveles, el geométrico y
[1:54:49] Speaker 2: el de señales, el GPS no existiría. En ingeniería estructural,
[1:54:53] Speaker 2: la trigonometría es tan fundamental que prácticamente no hay un
[1:54:58] Speaker 2: cálculo estructural que no la involucre. Cualquier estructura que no
[1:55:02] Speaker 2: sea un bloque macizo, cualquier estructura que tenga componentes inclinados, vigas, cables, arcos,
[1:55:11] Speaker 2: requiere descomponer las fuerzas en sus componentes vertical y horizontal,
[1:55:16] Speaker 2: que son exactamente el coseno y el seno del ángulo
[1:55:20] Speaker 2: que la fuerza forma con la vertical. El análisis de
[1:55:23] Speaker 2: estructuras de celosía, que son esas estructuras formadas por barras
[1:55:27] Speaker 2: triangulares que ves en los puentes, en las torres de
[1:55:31] Speaker 2: alta tensión, en los techos industriales, consiste enteramente en resolver
[1:55:36] Speaker 2: sistemas de ecuaciones en que los coeficientes son senos y
[1:55:40] Speaker 2: cosenos de los ángulos de inclinación de las barras. Sin trigonometría,
[1:55:46] Speaker 2: no hay ingeniería estructural moderna. En astronomía y cosmología, La
[1:55:51] Speaker 2: trigonometría sigue siendo el método fundamental de medición de distancia.
[1:55:55] Speaker 2: El método de la paralaje, que es el desplazamiento aparente
[1:56:00] Speaker 2: de una estrella cercana respecto al fondo de estrellas lejanas
[1:56:05] Speaker 2: cuando se observa desde dos posiciones opuestas de la órbita terrestre,
[1:56:09] Speaker 2: es trigonometría directa. El ángulo de paralaje es tan pequeño
[1:56:14] Speaker 2: que medirlo requiere instrumentos de precisión extrema, pero el cálculo
[1:56:19] Speaker 2: que convierte ese ángulo en una distancia es el mismo
[1:56:23] Speaker 2: que Hipparco usó para medir la distancia a la Luna.
[1:56:27] Speaker 2: La unidad de distancia estelar más usada en astronomía profesional,
[1:56:31] Speaker 2: el parsec, se define directamente en términos de la paralaje.
[1:56:36] Speaker 2: Un parsec es la distancia a la que una estrella
[1:56:39] Speaker 2: tiene un ángulo de paralaje de un segundo de arco.
[1:56:43] Speaker 2: El nombre viene de la contracción de paralaje y arco segundo.
[1:56:47] Speaker 2: trigonometría nombrada directamente en la unidad de medida. En medicina,
[1:56:52] Speaker 2: la tomografía computarizada, el TAC, reconstruye imágenes tridimensionales del interior
[1:56:58] Speaker 2: del cuerpo a partir de múltiples proyecciones de rayos X
[1:57:02] Speaker 2: tomadas desde distintos ángulos. El algoritmo matemático que reconstruye la
[1:57:08] Speaker 2: imagen tridimensional a partir de esas proyecciones se llama transformada
[1:57:13] Speaker 2: de Radon. y es matemáticamente una aplicación de la transformada
[1:57:17] Speaker 2: de Fourier en dos dimensiones. Los escáneres de resonancia magnética
[1:57:22] Speaker 2: usan campos magnéticos oscilantes, cuyos pulsos se diseñan con precisión
[1:57:27] Speaker 2: trigonométrica para excitar selectivamente los núcleos de hidrógeno en tejidos específicos.
[1:57:34] Speaker 2: Sin trigonometría, la medicina de imagen moderna no existiría. En
[1:57:39] Speaker 2: los videojuegos y en los gráficos por computadora en general,
[1:57:43] Speaker 2: La trigonometría es la base de toda la geometría tridimensional.
[1:57:48] Speaker 2: Cuando un motor gráfico quiere rotar un objeto en el espacio,
[1:57:52] Speaker 2: aplica una matriz de rotación cuyos elementos son senos y
[1:57:56] Speaker 2: cosenos del ángulo de rotación. Cuando quiere proyectar una escena
[1:58:00] Speaker 2: tridimensional sobre la pantalla plana del monitor, realiza una serie
[1:58:05] Speaker 2: de transformaciones de perspectiva que involucran arcos tangentes y senos.
[1:58:11] Speaker 2: Cuando calcula la iluminación de una superficie, determina el ángulo
[1:58:15] Speaker 2: entre la normal a la superficie y la dirección de
[1:58:18] Speaker 2: la luz, y el factor de iluminación es el coseno
[1:58:22] Speaker 2: de ese ángulo, que es la proyección directa del rayo
[1:58:25] Speaker 2: de luz sobre la superficie. El coseno como modelo de
[1:58:29] Speaker 2: la intensidad de la luz en una superficie era conocido
[1:58:32] Speaker 2: ya por Lambert en el siglo XVIII, y hoy es
[1:58:36] Speaker 2: la base de todos los motores de renderizado fotorrealistas. La
[1:58:40] Speaker 2: inteligencia artificial actual, incluyendo los grandes modelos del lenguaje, usa
[1:58:45] Speaker 2: trigonometría en formas que podrían sorprender. Una técnica llamada codificación
[1:58:51] Speaker 2: posicional sinusoidal, propuesta en el influyente artículo Attention is all
[1:58:58] Speaker 2: you need, de 2017, que introdujo la arquitectura transform, usa senos
[1:59:03] Speaker 2: y cosenos para codificar la posición de cada palabra en
[1:59:06] Speaker 2: una secuencia de texto. La razón es elegante. Las funciones
[1:59:11] Speaker 2: periódicas del seno y el coseno permiten al modelo distinguir
[1:59:15] Speaker 2: posiciones relativas entre palabras de forma que generaliza bien a
[1:59:19] Speaker 2: secuencias de longitudes no vistas durante el entrenamiento. Las ondas
[1:59:25] Speaker 2: trigonométricas como lenguaje para hablar sobre la posición en una secuencia.
[1:59:29] Speaker 2: Hiparco nunca habría imaginado ese uso, pero está en la
[1:59:33] Speaker 2: misma continuidad intelectual. En el procesamiento de señales de audio
[1:59:38] Speaker 2: en tiempo real, como el que hace tu teléfono cuando
[1:59:42] Speaker 2: activa la cancelación de ruido o cuando el asistente de
[1:59:45] Speaker 2: voz te escucha, la transformada de Fourier rápida o FFT
[1:59:49] Speaker 2: es el algoritmo central. La FFT es un método para
[1:59:54] Speaker 2: calcular la transformada de Fourier discreta de forma eficiente, aprovechando
[1:59:59] Speaker 2: la simetría de las funciones trigonométricas. Fue publicada por Cooley
[2:00:04] Speaker 2: y Tukey en 1965. aunque versiones previas habían sido descubiertas independientemente
[2:00:10] Speaker 2: por Gauss en 1805 y casi por Runge y Koenig antes.
[2:00:17] Speaker 2: La FFT redujo el tiempo de cálculo de la transformada
[2:00:20] Speaker 2: de Fourier de proporcional a n cuadrado, operaciones a proporcional
[2:00:24] Speaker 2: a n por el logaritmo de n. Un ahorro que
[2:00:28] Speaker 2: para señales de audio de tamaños típicos representa una aceleración
[2:00:32] Speaker 2: de mil veces o más. Esa aceleración es lo que
[2:00:35] Speaker 2: hace posible el procesamiento digital de audio en tiempo real
[2:00:39] Speaker 2: en dispositivos pequeños, con procesadores modestos. Hay algo extraordinario en
[2:00:45] Speaker 2: todo este recorrido que merece un momento de reflexión explícita.
[2:00:50] Speaker 2: Empezamos con escribas babilonios presionando tablillas de arcilla hace 4000 años
[2:00:56] Speaker 2: porque necesitaban calcular pendientes de pirámides y posiciones de estrellas.
[2:01:02] Speaker 2: Cada paso en la historia que hemos recorrido fue dado
[2:01:05] Speaker 2: por alguien que enfrentaba un problema concreto y necesitaba una
[2:01:09] Speaker 2: herramienta matemática mejor. Y Parco necesitaba predecir eclipses. Los constructores
[2:01:16] Speaker 2: de mezquitas necesitaban orientar sus edificios hacia la Meca. Los
[2:01:21] Speaker 2: navegantes portugueses necesitaban cruzar el Atlántico. Los físicos del siglo
[2:01:26] Speaker 2: XIX necesitaban modelar la conducción del calor. Los ingenieros del
[2:01:31] Speaker 2: siglo XX necesitaban comprimir imágenes y transmitir datos. Y en
[2:01:36] Speaker 2: cada uno de esos momentos, la herramienta que necesitaban ya existía,
[2:01:41] Speaker 2: o estaba a punto de existir, en la forma de
[2:01:44] Speaker 2: la trigonometría, que se había ido acumulando pacientemente durante milenios.
[2:01:50] Speaker 2: La tablilla Plimpton 322 y el algoritmo de la FFT son
[2:01:56] Speaker 2: el mismo edificio. construido ladrillo a ladrillo a través de 4.000
[2:02:00] Speaker 2: años y docenas de culturas. La razón más profunda por
[2:02:04] Speaker 2: la que la trigonometría es tan universal es que el
[2:02:07] Speaker 2: mundo físico está lleno de simetría circular. Las órbitas planetarias
[2:02:12] Speaker 2: son elipses, que son curvas cercanas a los círculos. Las
[2:02:16] Speaker 2: ondas son perturbaciones que se propagan con simetría radial. La
[2:02:21] Speaker 2: rotación es el movimiento más fundamental en la naturaleza. desde
[2:02:26] Speaker 2: los electrones que giran alrededor de los núcleos hasta las
[2:02:29] Speaker 2: galaxias que giran alrededor de sus centros. Los fenómenos oscilatorios,
[2:02:34] Speaker 2: el péndulo, el resorte, la onda sonora, la corriente alterna,
[2:02:39] Speaker 2: son circularidad proyectada sobre una línea. Y la trigonometría es
[2:02:43] Speaker 2: precisamente la matemática de la circularidad, de la proyección del
[2:02:48] Speaker 2: círculo sobre la línea recta, de la razón entre los
[2:02:51] Speaker 2: lados de los triángulos que emergen naturalmente, cada vez que
[2:02:55] Speaker 2: un ángulo conecta una dirección con una distancia. Cuando aprendes
[2:03:01] Speaker 2: que el seno de 30 grados es un medio, no estás
[2:03:04] Speaker 2: memorizando un hecho arbitrario. Estás reconociendo una relación geométrica que
[2:03:10] Speaker 2: es verdadera en todo el universo, que fue cierta en Mesopotamia 4.000
[2:03:15] Speaker 2: años atrás, y que es cierta en cualquier planeta que
[2:03:19] Speaker 2: orbite cualquier estrella. Es verdadera porque el círculo es la
[2:03:23] Speaker 2: figura más simétrica que existe y las razones entre sus
[2:03:27] Speaker 2: elementos son consecuencias inevitables de esa simetría. La trigonometría no
[2:03:33] Speaker 2: es una convención cultural ni un artefacto histórico. Es una
[2:03:38] Speaker 2: verdad matemática que distintas civilizaciones descubrieron de forma independiente porque
[2:03:44] Speaker 2: el universo las empujaba hacia ella. Desde las tablillas de
[2:03:48] Speaker 2: arcilla babilónicas hasta la fórmula de Euler, desde las tablas
[2:03:52] Speaker 2: de cuerdas de Hipparco hasta los algoritmos de compresión de imagen,
[2:03:56] Speaker 2: el hilo conductor es siempre el mismo. La geometría del ángulo,
[2:04:01] Speaker 2: la razón entre los lados del triángulo, la proyección del
[2:04:04] Speaker 2: círculo sobre la recta. Todo lo que llamamos trigonometría es
[2:04:09] Speaker 2: el intento de la mente humana de medir lo que
[2:04:13] Speaker 2: el universo curva.

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